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數與數線 §CH—1~1 主題 1 ：有理數與實數 q 有理數：設 p , q皆為整數且 p ≠ 0 ，則凡可以表成分數型式 的數皆稱為有理數，而所有 1. p 有理數所成的集合以 Q 表示之。※一實數若不為有理數，他就是無理數。 b d 有理數實數 的四則運算：設 與 皆為有理數，則： 2. ( R ) a c b d bc + ad (1)加法運算： a + c = ac 亦為有理數。 b d bc − ad 減法運算： − = 亦為有理數。 (2) ﹒ a c ac b d bd (3) 乘法運算：a × c = ac 亦為有理數。 b d b c bc 除法運算： ÷ = × = （其中 ）亦為有理數。 (4) d ≠ 0 a c a d ad 【註】由以上運算可以得知：有理數實數 對加法、減法、乘法及除法皆具有封閉性質。 ( ) ※ ：設 、 均為無理數 ，則 、的四則運算不一定仍是無理數。 NOTE a b a b 有理數實數 的比較大小： 3. ( ) b d 有理數實數 相等：若 = ，則 。 (1) ( ) ad = bc a c 設 r , s, t皆為有理數 實數 ： (2) ( ) r s, r = s r s ① 三一律： 或 三式中恰有一式成立。 遞移律：若 r s 且s t 則 r t 。 ② ﹒ ③ 加法律：若 r s ，則 r + t s + t 。 u 當 時t ,0 r × t s × t.  ④ 乘法律：若r s ，則 v 當 時t ,0 r × t s × t.  有理數實數 的稠密性： 在任意兩個相異的有理數之間，至少有一個有理數存在 。 4. ( ) 5. 分數化為有限小數或循環小數： q 任一分數 其中p ≠ 0 ，利用長除法皆可以表示成有限小數或循環小數。 (1) ﹒ p q 若最簡分數 ，其中p ≠ 0 ，可以化為有限小數，則 僅能含 或 兩個質因數。 (2) p 2 5