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一、什么是数学实验 数学实验实例一 数学实验工具 Mathematica介绍 变量与函数 数学常数e的探讨 连续利率与e 2 如果在定义函数时需要用几个命令才能完成，可以将几个命令依次排列，命令之间用分号分隔，用圆括号把首尾命令括起来。例如： h[x_]: y Max[x];z Min[x];y^2-z^2 a 1,2,4,6,8 h[a] 更恰当的方法是用模块形式来定义：其格式是： Module[ 局部变量 , 函数表达式] 例如：上面的例子可以改写为： hh[x_]: Module[ y,z , y Max[x];z Min[x];y^2-z^2] a 1,2,4,6,8 hh[a] 例2 设 ，其中a, k是参数. 当 时， 1 作出 f x 在x 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3 处的数据表. 2 画出函数 f x 的图形. g[x_,a_,k_]: a Exp[-k^2 x^2] a 1/Sqrt[2 Pi]; k 1/2 Table[g[x,a,k], x,0,3,0.5 ] Plot[g[x,a,k], x,-4,4 ] 编制一个对数表，使任意给出的N都能简便地求出其对数值log a N . 借助于乘方运算容易得到如下对数表： 0 1 2 3 … k … b 1 a a2 a3 … ak … N 0 1 2 3 … k … b 1 10 100 1000 … 10k … N 当 a 10时，得到下表： 问题1 怎样选择 a 的值才能使 N 的取值间隔很小？ 由于N a b，a 的取值越接近于1，N 的间隔就越小。例如，取 a 1.0001，可以作出下面的对数表： NBase[r_,b_]: 1+r ^b Table[ NBase[0.0001,b],b , b,0,100,10 ] Table[ NBase[0.0001,b],b , b,100,1000,100 ] Table[ NBase[0.0001,b],b , b,1000,10000,1000 ] Table[ NBase[0.0001,b],b , b,10000,100000,10000 ] 相应的对数表可以从Mathematica中得出。 问题2 如何解决 b 过大的问题？ 由于r 是一个已知的非常小的正数，取 b* r b， b*的值就比较合适。 0 r 2r 3r … kr … b* 1 1+r 1 1+r 2 1+r 3 … 1+r k … N 由于对给定的 N， b*实际上是以 为底的对数。当r→0时，a→e.  从而得到以e为底的对数 ln N。 * 传统的数学课教学的特点： 1、公理化体系； 2、利用逻辑演绎方法； 3、高度抽象性。 在公理化体系的包装下，发现问题、处理问题和解决问题的思维轨迹往往被掩盖。我们所学到的只是一些抽象的定义和定理，而对数学的思考方法却被忽视。 数学实验就是要利用计算机这一工具，通过对一些数学现象进行观察和研究，发现其规律性，再通过自己的分析思考最终使问题得到解决，从而更加深入地理解和掌握数学的概念和方法。 按照实验任务的不同，数学实验可以分成四种层次： 1、计算实验； 2、体验实验； 3、探索实验； 4、应用实验。 1、调和数列 自然数的倒数组成的数列 称为调和数列。它的前n项和数列 记作H n 。 调和数列研究 2、提出问题：H n 是否收敛？ 我们借助于数学软件Mathematica 对H n 的收敛性进行观察。 Step1 定义前n项和H n H[n_]: Sum[1/k, k,1,n ] Step2 列出H n 随n变化的数据表 t Table[ n,N[H[n],6] , n,1,100 ] 9.78761 10000 5.17738 99 2.08333 4 …… …… 14.39273 1000000 7.48547 1000 5.18738 100 1.83333 3 1.50000 2 1.00000 1 H[n] n Step3 根据数据表画出H n 的图形 ph1 ListPlot[t] 通过对所得图象的观察和分析，我们发现它很接近对数函数的图象。我们把它与对数函数 y lnx 的图象一起比较一下。 Step4 与对数函数 y lnx 作比较 ph2 Plot[Log[x], x,1,100 ] Show[ph1,ph2] 根据图象比较的结果可以看出，当n很大时，H n 的图象与ln n 的图象非常相似，但它们大致相差一个常数。这个常数约为 C H 100 -ln100≈0.5822. 我们将 lnx 的图象向上平移C个单位