C几何——C1平面几何的证明.docVIP

C几何——C1平面几何的证明 C1－001 已知线段MN的两个端点在一个等腰三角形的两腰上，MN的中点S作等腰三角形的底边的平行线，交两腰于点K和L．证明：线段MN在三角形底边上的正投影等于线段KL． 【题说】 1956年～1957年波兰数学奥林匹克三试题2． 【证】 设M、N在直线KL上的射影分别为D、E，由于MS＝SNMD＝NEAB＝ACKL∥BC，所以∠DKM＝AKL＝ALK，又∠MDK＝NEL＝90MDK≌△NEL，DK＝ELDE＝KLMN在BC上的正投影等于KL． C1－002 设四边形ABCD内接于圆O，其对边AD与BC的延长线交于圆O外一点E，自E引一直线平行于AC，交BD延长线于点M，自M引MT切圆O于T点，则MT＝ME 【题说】 1957年南京市赛初赛5．利用切割线定理和相似三角形． 【证】 四边形ABCD内接于圆O，故∠1＝2．由ME∥AC，得∠2＝4，又∠1＝3，所以∠3＝4，又∠EMB＝DME，所以△EMB∽△DME．从而有 即 ME2＝MBMD 所以 MT2＝MBMD＝ME2 MT＝MEC1－003 若一直角三角形的外接圆半径为R，其内切圆半径为r，与斜边相切的旁切圆半径为t，若R为r及t的比例中项，证明这直角三角形为等腰直角三角形． 【题说】 1957年北京市赛高二题4． 【证】 设直角△ABC的斜边长为c，两直角边长为a、b．易知R＝ 由已知 所以 a＝b C1－004 任意四边形ABCD的对角线AC与BD相交于P，而BD与AC的中点是M与N，设Q是P关于直线MN的对称点，过P作MN的平行线，分别交AB、CD于X、Y，又过Q作MN的平行线，顺次交AB、BD、AC、CD于E、F、G、H．试证： 1.EF＝GH 【题说】 1963年成都市赛高二二试题4．同本届高三二试题4． 【证】 1．P、Q关于MN对称，所以MN平分PQ，又FG∥MN，所以MP＝MFBF＝PDBP＝FD 同理，有AP＝CGAG＝PC 1 同理 2 比较 1 、 2 得EF＝GH 2. C1－005 在内角都相等的凸n边形中，设a1，a2，…，an依次为边的长度，而且满足不等式a1≥a2≥…≥an． 证明：必有a1＝a2＝＝an 【题说】 第五届 1963年 国际数学奥林匹克题3．本题由匈牙利提供． 【证】 当n为奇数时，设n＝2k＋1k为正整数 ，∠A2A1An的平分线A1B交Ak＋1Ak＋2B 如图 ． 由于已知n边形的各角都相等，所以A1B⊥Ak＋1Ak＋2A1A2…Ak＋1A1An…Ak＋2A1B．另一方面，A1A2≥A1An，并且它们与A1B的交角相等，所以A1A2的射影≥A1An的射影．同理A2A3的射影≥AnAn－1a1＝a2＝＝an 当n为偶数时，作A1A2的中垂线L．考虑各边在L上的射影，同样可得a1＝a2＝＝an C1－006 在平面上取四点A、B、C、D，已知对任何点P都满足不等式PA＋PDPB＋PCB和C在线段AD上，并且AB＝CD 【题说】 1966年全俄数学奥林匹克九年级题2． 【证】 由于点P是任意的．可以取P＝DAD≥BD＋DC若取P＝AAD≥AB＋AC 2AD≥AB＋AC＋BD＋CD 1 然而另一方面，总有AD≤AC＋CDAD≤AB＋BD 2AD≤AB＋AC＋BD＋CD 2 由 1 、 2 知 2AD＝AB＋AC＋BD＋CD 4个不等式中皆取等号，亦即B、C两点一定在线段AD上，而且AB＝CD C1－007 凸多边形内一点O同每两个顶点都组成等腰三角形，证明：该点到多边形的各顶点等距． 【题说】 第六届 1972年 全苏数学奥林匹克九年级题6． 【证】 1 如果凸多边形是△ABC，则结论显然成立． 2 对n n＞3 边形，设A、B、C为多边形的任意三个顶点，则C或在AO、BO的反向延长线组成的夹角内 图a ，或C在该角外，即该角与多边形的边DE相交 图b ． 在图a中，点O在△ABC内，由 1 ，AO＝BO＝CO 在图b中，点O在△BDE和△ADE内，故有AO＝DO＝EO＝BO C1－008 设有一圆，它与∠O两边相切，切点为A、B．从点A引OB的平行线，交圆于点C，线段OC与圆交于E，直线AE与OB交于K．证明：OK＝KB 【题说】 第七届 1973年 全苏数学奥林匹克九年级题2． 【证】 设圆在点C的切线与∠O两边分别相交于P、Q．因为AP＝PCAPC和△OPQ皆为等腰三角形，从而AO＝CQ＝OB＝BQ 又∠OAE＝OCA＝COQ，且∠AOB＝CQB，从而△OAK∽△QOC．所以 即 OK＝ OK＝KB C1009 圆的内接四边形两条对角线互相垂直，则从对角线交点到一边中点的线段等于圆心到这一边的对边的距离． 【题说】 1