浅谈高中集合的几个注意点及部分应用-扬州市江都区育才中学.docVIP

浅谈高中集合的几个注意点及部分应用 扬州市江都区育才中学 高中数学 康坚 19世纪70 年代，德国数学家G.康托尔给出了一个比较完整的集合论，对无穷集合的序数和基数进行了研究。20世纪初，罗素悖论指出了康托尔集合论的矛盾为了克服悖论，人们试图把集合论公理化，用公理对集合加以限制。,,,,不仔细辨别,就会误认为这三个集合是相同的．实际上,在集合中,代表元素表示抛物线上任意一点的横坐标,集合即中的范围；在集合中,代表元素表示抛物线上任意一点的纵坐标,集合即中的范围；而在集合中,代表元素是实数对,,它表示的是点,所以集合是由抛物线上的点组成的集合． 2、要注意集合元素的互异性 例2：若,,,,,且,求的值． 错解：当时, ,则或；当时, ,则或．∴或或． 分析：错解虽然注意了集合元素的无序性,但忽视了集合元素的互异性．当集合中有字母时,在根据已知条件求出该字母的值后,一定要检验原集合中元素是否具备互异性．当时,集合中元素与不满足互异性,故应舍去．本题正确答案为或． 注意空集的存在性 注：空集是任何集合的子集，所以，凡是看到子集时，一定要先考虑一下，未知集合有无可能是空集。 ４、注意韦恩图与数轴的应用 数轴与韦恩图是集合特有的，它是将一部分抽象的集合问题转化为具体问题的重要工具．能够化繁为简，非常直观。 例4．某校高二（1）班有学生50人，参加数学小组的有25人，参加英语小组的有32人，求既参加数学小组又参加英语的人数的最大值与最小值． 解析：设既参加数学小组又参加英语的有人，如右图，仅参加数学小组的人数为，仅参加英语小组的人数为，至少参加一项的人数为． ∴解得≤≤25． 因此，两个小组都参加的人数的最大值为25，最小值为7． 例5、已知集合? ⑴若，求的范围.⑵若，求的范围。 ???????????????????? ?　　分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有：，这时的值不可能存在．要使，当a 0时集合A应该覆盖集合B，应有成立．.??????????????? 当时，，显然成立.故时的取值范围为： 注意：端点值的取舍可以单独拿出来判断是否可取。 5.注意集合语言的转化 数学语言具有高度的准确性、精练性，表达方式也具有多样性，用集合方式进行表达也是常规表达方式之一，求解时必需注意集合语言的转化． 例6．已知两集合， ，其中．求点的集合，使为单元素集． 解析：由为单元素集，可知两圆与相外切或内切，此时有，或，即，或．故集合，或． 上面我们谈了集合在学习过程中的一些注意点，能够帮助我们在解题时避免所谓粗心导致的一些错误。集合是现代数学大厦的基石，用集合的观点去理解高中数学的一些其他知识点，可以让大家理解的更加清晰，更加透彻。看看我们高中教材，在解释和研究概率问题时就采用了集合的观点，集合中的符号， 如?，∈ , ?， ?， 等在立体几何中也有使用。集合在受限制排列组合问题，简易逻辑问题、讨论充要条件中均有应用。下面我们着重来看看： 1、集合在讨论充要条件中的应用 由于命题的条件和结论都可以构成集合，用 p(x),q(x),分别表示对象 x具有性质p,q 时，则当 p?q是，称 p是 q成立的充分条件，取A= { x/p (x) }， B= { x/q (x)}，此时 有. A?B ，于是，我们有判别法则： 当A B 时， p是 q成立的充分条件；当BA时，p是 q成立的必要条件； 当A=B 时，p是 q成立的充要条件。 注：简单的口诀：小集合推出大集合。 2、集合与概率 从结构化的角度看，集合论与概率论的概念，运算，性质有一定的对应关系。概率论中的事件A+B,表示A,B至少发生一个，对应集合论中的AB；AB表示A，B事件同时发生，对应集合论中的AB，而概率论中的公式P(A+B)=p(A)+ p(B)- p(AB),对应于集合中论的card(AB)= card(A)+ card(A)- card(AB),所以在概率的学习中，联系集合的知识点，联系韦恩图，可以更加简单的理解概率的知识点和运算性质。集合论与概率论的对应关系如下表所示： 子集事件 全集必然事件 空集不可能事件 ABA发生，则B发生 ABA+B AB AB A补集事件A的对立事件 其他的一些应用不再一一列举。 在具体教学中，还可以适当补充集合论对我来说，最有意思的是通过空集构造整个宇宙的过程。现在有一个空集{}和集合与元素的属于关系，首先是证明这个空集存在，其实证明空集唯一。这个空集就是无，然后来构造有：一个包含空集的集合{{}}，这个集合显然与空集不同，因为它包括了一个元素，虽然这个元素里面也是空的。{}看作0，里面没元素，{{}}看作1，里面有1个元素，接着构造2：={{}，{{}