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如何理解欧拉公式 从一种具身数学的角度看 什么是知识 • 集智是一个社会性/学术性团体 • 一平面上两点间最短距离是直线 • 最小单位是各种概念,概念网络与世界的映射 教科书中的欧拉公式：直接给出，再证明 Benjamin Peirce 与Mr.M • M先生由于大脑受损，无法说出3与5之间的数是什么，但是知道A与C 之间字母，知道周二和周四之间是哪一天，说明关于数字序列的知识 丢失带式其它序列信息完好。M先生无法做简单的算术，算不出 2+3,2-1等于多少，但是他记得乘法表，知道三乘九是二十七，却无法 理解它，M先生失去了算术的直觉。同样，对于用符号做计算的我们， 大多是在符号之间的关系的意义上去理解计算。 • 19世纪的数学家Benjamin Peirce ： ‘这完全是一个悖论，我们无法理解它，不知道它意味着什么，但 是我们能证明它，因此我们知道它一定是正确的’ 数学认知与具身数学 • 认知科学中的数学认知，只要集中在两个方面， 一是对单个数学认知现象（如对数字的操作）做 大实验，但是无法给出全局解释。而是基于认知 语言学等学科做定性的统一理论，但缺乏实验支 持 • 统一理论中的基础概念要还原到物理机制还有很 长的路要走，但是没有统一理论的指导，实验仍 旧是盲的（希格斯玻色子） 算术 数轴 解析几何 三角几何 平面几何 解析几何 • 笛卡尔平面概念混 数轴 有两条垂直线的欧氏平 合1 两个数轴2有两 面 条垂直线的欧氏平 数轴x 直线X 面 • 把几何与算术代数 数轴y 直线Y 联系在一起，可以 数轴x上的数m 平行于直线Y 的直线M 使代数方程可视化， 反之亦然。同时空 数轴y上的数n 平行于直线X 的直线N 间中的曲线可以被 看做是动点，可被 一对有序数（m，n） M与N的交点 看做是由沿着xy轴 的移动组成 一对有序数（0,0 ） 直线X与Y 的交点 • 可以扩展到n维 方程y=f(x), 即一组有序 两条直线的交点构成的点 对(x,y) 集 两个等值公式的解 平面汇总两个图形的交点 三角几何 • 很多连接隐喻都是算术化的隐 喻，这样可以把算术的计算应 用的对象域 • 平面几何中只有角，没有数， 可以做加减，但乘除就很难 • 三角几何开始于单位圆概念混 合，包含4个域 1.欧式平面中带有圆心和半径的 圆 2.带有X ，Y轴的笛卡尔平面 3.欧氏平面中的一个角φ 4 .一个直角三角形 • 4个步骤 三角几何隐喻 源域：单位圆 目标域：三角函数 Φ对应的弧长 分配给φ的数 a 的长度 cosφ b的长度