守恆律方程組簡介-中研院數學研究所.PDFVIP

守恆律方程組簡介 陳宜良 一. 簡介 例一 ． 車流問題 我們想要了解高速公路上車流在宏觀尺 守恆律方程 (Conservation Laws) 度下的變化過程。 令△x表宏觀下的小尺度, 是 50 年代新起的一個數學領域。 其名稱之由 比如宏觀下的標準尺度定為5公里, 則△x可 來是因為這類型的偏微分方程式通常是由一 定為 200公尺。 令N (x, t)表在t 時刻在(x − 些物理的守恆定律所導出。 比如它的一個研 △x, x + △x)區 間內的車輛數。 令ρ = 究對象—空氣模型方程—是導 自質量、 動量 N/2△表車流密度,u(x, t)表在 (x −△x, x+ 及能量守恆定律。 守恆律方程 所涵蓋的物 △x)區 間 內的平均車速。 由此可得通過一 理模型十分廣泛, 幾乎所有的連續體力學的 點 x的車流量為ρ(x, t)u(x, t)。 現在我們 模型方程均屬於這種型式, 其中包括了氣體、 考慮在任意區 間(a, b)內的車數變化, 此量 液體、 彈性體、 電漿、 星雲、 等。 守恆律方 為 d b ρ(x, t)dx。 由 「車數守恆律」 可得此 程 發展的目標是一套具普遍性的數學理論, dt a 量等於通過端點 a, b 的車流量之差。 亦即 比如非線性波理論、 計算方法理論、 宏觀極 限理論等。 其發展過程常是經 由深入研究許 d b ρ(x, t)dx = [−ρu]b dt a a 多具代表性的個別模型, 從中歸納出本質性 = − b (ρu) dx。 x 的結果, 再發展成具普遍性的數學理論。 因 a 此, 把握具體模型是研究這個領域的一個特 色, 而豐富的模型也帶給這個領域源源不絕 由於(a, b) 為任意區間, 因此我們導得 的生機。 在這篇短文裡, 我將舉幾個周遭的例 ρt + (ρu)x = 0。 子, 來介紹基本的守恆律方程式。 同時以車流 問題為例, 介紹簡單的非線性波理論, 最後再 此式即為 「車數守恆律」 方程式。 又, 在高速 提出如何快速進入這個領域的建議。 公路上,u 通常為ρ的函數, 比如 ρ大時車速會 減慢。 因此一個模型為u = u(ρ)如下圖所示