1第一章 概率论基础知识-5.pptVIP

数理统计 §1.5 随机变量的数字特征 例3 （1）协方差和相关系数的定义 （2）协方差的性质 （4）相关系数的性质 4. 矩和协方差矩阵 例5 设 X 的可能取值为 且 ，求 X 的分布律。 解 设 X 的分布律为 所以 已知 例6 求 的次数， 对X 独立观察 4 次，Y 表示X 的观察值大于 解 由题意可知 例7 设 ，且 ⑴ 求 X 和 Y 的联合分布律; ⑵ 求 X + Y 的方差。 解 ⑴ X ,Y 的取值都为-1和1，则 ⑵ X+Y 的分布律为 练习题 1.设X1,X2,…,Xn相互独立，且都服从参数为λ的指数分布，令 求E(Y), E(Z), D(Y), D(Z)。 2.设股票的价格St在适当的概率空间中的概率分布为 其中常数r0,σ0。以该股票为标的资产，执行价格为K的欧式看涨期权在当前时刻t的价值为 求Ct 。 定义 设二维随机变量 即 若 存在，则称它为X 与 Y的协方差，记为Cov(X,Y) 3.协方差和相关系数 ⒈ Pf: ⒉ （协方差的计算公式） Pf: ⒊ Pf: 若X ,Y 相互独立，则 ⒋ ⒌ 为常数 ⒍ Pf: 定义 称 为X与Y的相关系数. （3）相关系数 1) 2) 的充要条件是 与 以概率1呈线 性关系。即 其中 为常数 定理1 设随机变量 和 的相关系数存在，则 说 明 相关系数 之间线性关系的一种度量. ，X 与Y 的线性关系越显著； ，X 与Y 的线性关系越不显著； 四个等价命题： 2） 3） 4） 1）相关系数 则称 与 不相关; 不相关： X 与Y 之间没有线性关系，并不表示它们之 间没有任何关系。 所以，当X 和Y 独立时，Cov (X , Y)= 0. 故 但由 并不一定能推出X 和Y 独立. 请看下面的例子 独立： X 与Y 之间没有任何函数关系。 对应 的(X,Y). 例1 设随机变量 的概率密度为 问 X 和 Y 是否相互独立，是否不相关？ 解 ⑴ 先求关于X 和Y 的边缘概率密度 因为 所以X 和 Y 不相互独立。 ⑵ 求X 和Y 的相关系数 所以 故X 和 Y 不相关。 独立 不相关 （5）几种重要分布的数学期望 ①X为离散型随机变量 ⑴（0—1）分布 ⑵ 泊松分布 ⑶ 二项分布 则X 表示n 重伯努利试验中A发生的次数. 现在我们来求X 的数学期望 。 若设 则 其中 即 ，则 所以 结论：任何一个服从二项分布的随机变量 X 都可表示 n 个服从（0—1）分布的独立的随机变量 相加的 形式： ②X为连续型随机变量 ⑴ 均匀分布 则 ⑵ 指数分布 则 分部积 分法 ⑶ 正态分布 已知 例1 求 服从参数为 3 的指数分布， X , Y相互独立， 解 由随机变量的性质可知 例2 一民航送客载有20 位旅客自机场开出，旅客有 10个车站可以下车， 就不停车。 以 X 表示停车的次数。 求E( X ).（设每个 旅客在各个车站下车是等可能的， 并设各旅客是否下 车相互独立）。 如到达一个车站没有旅客下车 第i 站无人下车, 第i 站有人下车. 解 设 则 注: 不是相互独立的。 本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求数学期望的,此方法具有一定的意义. 练 习 题 设随机变量(X,Y)的概率密度为 求E(X)，E(XY)，E(X2) 方差是度量随机变量取值波动 程度的一个数字特征。 如何定义？ 2.方 差 方差的算术平方根 为X的方差。 定义 设X 是一个随机变量，若 存在，则称 称为均方差或标准差。 （1）方差的概念 注意： ⒈ 是关于随机变量X 的函 数 的数学期望。 离散型 已知X 分布律 连续型 已知X 的概率密度 命题 计算方差的简便公式 ⒉方差描述了X 的取值与E(X)的偏离程度。 证明 解 比较量个人射击的平均环数，甲的平均环数为 例1 X 8 9 10 P 0.3 0.2 0.5 甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： 试问那个人的射击水平较高？ X：甲击中的环数 Y：乙击中的环数 Y 8 9 10 P 0.2 0.4 0.4 ＝9.2(环) 乙的平均环数为 ＝9.2(环) 从平均环数上看， 甲、乙射击水平是一样的。 但两人射击环数的方差分别为： 这表明乙的射击水平比甲稳定。 设随机变量X 的概率密度为 求D(X)。 例2 解 1. 设C是常数,则D(C) =0 ; 2. 若C是常数,则 D(CX )=