解析几何散题整理.docVIP

1. 已知⊙和点. （）过点向⊙引切线，求直线的方程； （Ⅱ）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为 4的⊙的方程； （Ⅲ）设为（Ⅱ）中⊙上任一点，过点向⊙引切线，切点为Q. 试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）设切线方程为 ，易得，解得……3分 ∴切线方程为 ………………………………………………………5分 （Ⅱ）圆心到直线的距离为 …………………………7分 设圆的半径为，则 ………………………………………………9分 ∴⊙的方程为 ………………………………………………… 10分 （Ⅲ）假设存在这样的点，点的坐标为，相应的定值为， 根据题意可得，∴…………………………12分 即 （*）， 又点在圆上∴，即，代入（*）式得： ………………………………14分 若系数对应相等，则等式恒成立，∴， 解得， ∴可以找到这样的定点，使得为定值. 如点的坐标为时，比值为； 点的坐标为时，比值为…………………………………………………………16分 已知椭圆的方程为，点分别为其左、右顶点，点分别为其左、右焦点，以点为圆心，为半径作圆；以点为圆心，为半径作圆； 若直线被圆和圆截得的弦长之比为； （1）求椭圆的离心率； （2）己知a=7，问是否存在点，使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的点坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由，得直线的倾斜角为， 则点到直线的距离， 故直线被圆截得的弦长为， 直线被圆截得的弦长为， （3分） 据题意有：，即， （5分） 化简得：， 解得：或，又椭圆的离心率； 故椭圆的离心率为．（7分） （2）假设存在，设点坐标为，过点的直线为； 当直线的斜率不存在时，直线不能被两圆同时所截； 故可设直线的方程为， 则点到直线的距离， 由（1）有，得=， 故直线被圆截得的弦长为， （9分） 则点到直线的距离， ，故直线被圆截得的弦长为， （11分） 据题意有：，即有，整理得， 即，两边平方整理成关于的一元二次方程得 ， （13分） 关于的方程有无穷多解， 故有：， 故所求点坐标为（－1，0）或（－49，0）． （16分） （注设过P点的直线为后求得P点坐标同样得分） ，直线恒过定点F. 设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为. （1）求椭圆C的方程； （2）设（m，n）是椭圆C上的任意一点，圆O：与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l1：mx+ny=1和l2：mx+ny=4的位置关系. 【解】（1）, …1分 解得. ……………………………………………………………3分 设椭圆C的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c， 则由题设，知 于是a=2，b2=1. ……………………………………………5分 所以椭圆C的方程为 ………………………………………………………………6分 （2）因为圆O：与椭圆C有4个相异公共点， 所以，即 …………………………………………………………8分 因为点（m，n）是椭圆上的点，所以. 所以. …………………………………………………………10分 于是圆心O到直线l1的距离，……………………………………………12分 圆心O到直线l2的距离. …………………………………………14分 故直线l1与圆O相交，直线l2与圆O相离. ………………………………15分 本题主要考查直线、圆椭圆等，考查学生分析问题与解决问题的能力范围时，法一：消元，转化为一元函数求值域， 此时要注意定义域的影响；法二：数形结合，转化为研究椭圆上动点到原点距离的范围．另外， 4. 已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且. （1）求椭圆C和直线l的方程； （2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若曲线与D有公共点，试求实数m的最小值． 【解】（1）由离心率，得，即. ① ………………2分 又点在椭圆上，即. ② ………………4分 解 ①②得， 故所求椭圆方程为. …………………6分 由得直线l的方程为. ………8分 （2）曲线， 即圆，其圆心坐标为，半，表示圆心在直线上，半径为的动圆. …… 10分 由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑的情形. 设与直线l相切于点T，则由，得，………………… 12分 当时，过点与直线l垂直的直线的方程为， 解方程组得.