材料力学能量法〔上〕.ppt

* 课堂内容（29 ) §11–1 变形能的普遍表达式 第11章 能 量 法 §11–2 卡氏定理 三、变形能的普遍表达式： 变形能与加载次序无关；相互独立的力（矢）引起的变形能可以相互叠加。 细长杆，剪力引起的变形能可忽略不计。 2. 余能 设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的F-?曲线如图b 。 “余功Wc”定义为： 与余功相应的能称为余能Vc，余功Wc与余能Vc 在数值上相等。 F (a) ? F O dF ? ?1 F1 ? (b) §11–3 卡氏定理 1.卡氏第一定理 — 导出“力”的定理 设图中材料为非线性弹性， 由于应变能只与最后荷载有关，而与加载顺序无关。不妨按比例方式加载，从而有 假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量d ?i ,则应变能的变化为： 1 2 3 n 1 2 3 n B ?i Fi d?i 因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量,而与其余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微小增量d ?i ，仅Fi作了外力功，外力功的变化为： 注意到上式与下式在数值上相等 从而有： （—卡氏第一定理 ） 注意： 卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体。 式中Fi及?i分别为广义力、广义位移。 必须将V ?写成给定位移的函数，才可求其变化率。 例1 由两根横截面面积均为A的等直杆组成的平面桁架，在结点B处承受集中力F，如图a 所示。两杆的材料相同，其弹性模量为E，且均处于线弹性范围内。试按卡氏第一定理，求结点B的水平和铅垂位移。 解： 设结点B的水平和铅垂位移分别为?1和?2， 先假设结点B只发生水平位移?1 （图b） 则： A B (b) C B ?1 A B F 45 O (a) C l 同理，结点B只发生铅垂位移?2（图c） 则： 当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加） A B (c) C B ?2 应用卡氏第一定理得 解得： 桁架的应变能为 2.卡氏第二定理 — 导出“位移”的定理 设有非线性弹性的梁， 梁内的余能为： 假设第i个荷载Fi有一微小增量dFi ，而其余荷载均保持不变，因此，由于Fi改变了dFi ，外力总余功的相应改变量为： 余能的相应改变量为： 1 2 3 n 1 2 3 n B 由于外力余功在数值上等于余能，得 解得： （称为“余能定理”） 特别： 对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能V ?在数值上等于余能V c ， 此时上式变为： （称为“卡氏第二定理”） 式中的Fi 和?i分别为广义力和广义位移。 注意： 卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理 作为余能定理的特例，仅适合于线弹性体。 所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。 当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加”上广义力，将其看成已知外力，反映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该“虚加”外力为0。 实际计算时，常采用以下更实用的形式： 例2 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 ③变形 ①求内力 解：求挠度，建坐标系 ②将内力对PA求偏导 A L P EI x O 求转角 ?A ①求内力 没有与?A相对应的力（广义力），加之。 “负号”说明 ?A与所加广义力MA反向。 ②将内力对MA求偏导后，令M A=0 ③求变形（ 注意：M A=0） L x O A P M A 弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用， 如图所示。试用卡氏第二定理求跨中挠度。 w x l y A B q x P ③求变形（ 注意：P=0） ①求内力 ②将内力对P求偏导后，令P=0 演习 例3 由两根横截面面积均为A的等直杆组成的平面桁架，在结点B处承受集中力F，如图a 所示。两杆的材料相同，其弹性模量为E，且均处于线弹性范围内。试按卡氏第二定理，求结点B的水平和竖直位移。 解： 在结点B的水平方向假设一力 则： A B F 45 O C l F1 F1 FNAB FNBC F 例4 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。 解：求挠曲线——任意点的挠度 f（x） ①求内力 ②将内力对Px 求偏导后，令Px=0 没有与f（x）相对应的力，加之。 P A L x B Px C f x O x1 ③变形（ 注意：Px=0） 例5 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度（超静定问题）。 ②求内力 解：1.依 求多余反力， ③将内力对RC求偏导 ①取静定基如图 P C A L 0.5 L B f x O P C A L 0