1.1-1.2随机变量的定义及条件数学期望.pptVIP

1.2 条件数学期望 定义：设(X,Y)的联合分布函数为F(x, y)，称 为在X=x 的条件下,随机变量Y的条件分布函数. 离散型随机变量(X,Y), 在y=yk条件下X的条件 分布函数为 称为条件分布律. 连续型(X, Y),有 为在条件X=x 下, 随机变量Y 的条件密度函数. 三、条件数学期望 1.条件数学期望概念 定义 设(X, Y)是二维随机变量,条件分布函数 或 存在，若 或 则 称为在X=x的条件下,随机变量X的条件数学期望. 若(X, Y)是离散型随机变量,则 若(X, Y)是连续型随机变量,则 例1： 设随机变量(X, Y)的联合概率密度为 试求E(Y︱X=x). 解 在“X=x”的条件下,有条件概率密度 一般有 定理 设函数g(x)在R上连续,若 则随机变量g(X)在 “Y=y”条件下的条件数期望为 定义 称 为“Y=y”的条件下,随机变量X的条件方差. 为随机变量X 相对于条件数学期望 的偏离程度的衡量指标. 一般 是实值函数,而随机变量的函数 仍是随机变量. 有随机变量的概率性质. 2.条件数学期望性质 定理:设X,Y,Z是随机变量,g(·)和h(·)为R上连续函数,且各数学期望存在.有 1) c是常数; 证：1) 对 , 2) a, b是常数. 自证. 3) 如果X与Y相互独立,则 证:X与Y 独立, 自证. 3.全期望公式 例2 ： 常用全数学期望公式 若Y是离散型随机变量： 例3 设随机变量序列 独立同分布， 随机变量N, N仅取自然数, E(N)存在，并且N与 相互独立.随机变量 且E(Y) 存在。试证明： 证明： 因为Xk 具有相同分布,则 例4 设某段时间内到达商场的顾客人数N服从参数为λ的泊松分布.每位顾客在该商场的消费额X 服从[a, b]上的均匀分布.各位顾客之间消费是相互独立的且与N 独立.求顾客在该商场总的消费额. 解 设第i 个顾客消费额为Xi , 全体顾客在该商场总消费额为 根据全数学期望公式得 例5 已知随机变量X服从[0, a]上的均匀分布,随 机变量Y 服从[X, a] 上的均匀分布, 试求 1) E(Y X=x), 0 x a; 2) E(Y). 解 1) 由条件知对x 0, 有 对任意的0 x a 有 解:设窃贼需走X个小时到达地面,并设Y为窃贼每次对三个门的选择,则Y均以1/3的概率取值为1,2,3,可利用全期望公式得: 而有 例6（巴格达窃贼问题） 一窃贼被关在3个门的地牢中，其中第1个门通向自由，出这个门后3个小时便回到地面；第2个门通向一个地道，在此地道中走5个小时后将返回地牢；第3个门通向一个更长的地道，沿着这个地道走7个小时也回到地牢，如果窃贼每次选择3个门的可能性总相等，试求他为获得自由而奔走的平均时间。 由于若窃贼选第2个门时,他花5个小时重回地牢,此时处境与开始时完全一样,故有 同理,窃贼选第3门时 故得 解得 * 电子科技大学 第一章 预 备 知 识 1.1随机变量 随机变量的概念 引入随机变量的意义：建立了集合函数与数学分析中所研究的点函数之间的联系。 随机变量的概念 定义：设 是一样本空间， 是定义在 上的单值实函数，则称X为一个随机变量。称 为随机变量的分布函数。 离散型随机变量 设离散型随机变量X，一切可能值为 ，记 称 为X的分布列，也称为X的概率函数。 连续型随机变量 定义：对于随机变量X，若存在非负函数 ，且 ，使X取值于任意区间的概率 称X为连续型随机变量。 随机向量及其分布 定义： 设 是一样本空间， 是定义在这个样本空间上的n个随机变量，称 为 上的一个n维随机向量。 随机向量的联合分布函数 设 是样本空间 上的n维随机向量。称n元