第二章弹性力学平面问题有限元法1.ppt

有限元分析基础 Fundamentals of Finite Element Analysis 内容结构 第二章 弹性力学平面问题有限元法 有限元法是从基于能量的变分法发展而来的。如应用最小势能原理的雷利---里兹法，当按位移求解时，它首先要寻找一个满足整个弹性体几何边界条件的位移函数，这对工程实际问题往往有困难。 而用有限元法时，将结构进行离散，从一个个单元入手，只要假设单元上的分片插值函数，然后综合起来，代替整个域上的位移函数，这就使问题大为简便和灵活。 （1）有限元法直接在力学模型上进行离散化（剖分）， 物理概念清晰，明白易懂。 （2）有限元法有较好的适应性。对于简单问题和复杂问题 基本上同等处理。 （3）有限元法的各个计算步骤，如单元分析，总体分析和 方程解算等都较易标准化和程式化,有一套比较固定 的分析顺序，目前已发展成各种通用程序，便于掌握 和使用。 有限元法应用于应力分析，按所选取的未知量不同可分为三类：(1)位移法--取节点位移作为基本未知量；(2)力 法--取节点力作为基本未知量；(3)混合法--取一部分节点位移和一部分节点力  作为基本未知量。 在推导有限元方程时，主要有两种方法：直接法（如直接刚度法）；变分法（如固体力学中的最小势能原理和最小余能原理）把问题归结为求泛函的极值问题。 作为初步介绍，我们将以直接刚度法来讨论弹性力学平面问题中的有限元法概念。 有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。 节点和单元 有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 1.每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。 2.作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。 3.尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由 度”），然而在今天一个小的 ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵可能有25,000，000个刚度系数。 用有限元法对弹性力学平面问题进行应力分析，不仅具有实际意义，而且带有一定的典型性。通过它可以看到:(1)一般情况下处理问题的方法(2)有限元法的特点(3)使用中的应注意的问题可为今后进一步的深入研究打下基础。 2.2 弹性体的剖分 作为用有限元法解决弹性力学问题的第一步，必须先对弹性体区域进行剖分。 对于平面问题来说，最简单的方法是用直线将弹性体区域剖分为有限个三角形或四边形单元。 本章将只讨论三个节点的三角形单元。 单元分得越小，结构计算越精确。因此，应当在计算机容量的允许的范围内，尽可能地提高工程上的精确要求，适当地确定单元的大小和数目。 2）尽可能使同一个三角形单元各边的长度相差不太大。 此外在三角形单元中最好不要出现钝角。 因此，在图2-3a、b两种剖分式中，虽然都涉及到同样的四个顶点，但我们通常都采用a，而不采用b。 3）在事先估计应力较为集中、应力变化较大的地方，例如孔洞附近以及形状突变的角点等处，单元应分得小一些；在应力变化比较平缓的地方，如离开孔洞一定的距离处，单元可以分得比较大一点，  如图2-4。 4）在厚度或材料常数有突变的地方，除了应把这些部位的单元分得较小，较密一些以外，还必须把突变线作为单元的分界线。也就是说，在一个单元内部，只能包含一个厚度和一种材料常数。 作了这样的剖分之后，再以三角形单元的顶点作为节点（注意，如果边界上有集中力，则一般将其作用点选定为节点），然后对单元和节点分别进行编号。 编号的顺序不影响计算结果，原则上是可以任意的。但用直接法求解有限元的基本方程时，从压缩计算机存储量的角度来看，在对节点编号时应注意：单元的两个相邻节点编号之差应尽可能地小。因为这个差值就反映在方程组的系数矩阵（总刚度矩阵）的带宽上，它直接决定了系数矩阵元素的存储数量。有关问题，以后还要作详细的说明。 2.3 单 元 分 析 在进行了弹性体的剖分后，可任取一单元作为研究对象。 设某三角形单元e的节点编号为i, j, m,（为了在以后的计算中使三角形的面积不致为负值，规定i, j, m的次序为逆时针方向。）并设三个节点i, j, m在右手坐标系的坐标值分别为:（xi , yi ），（xj ，yj ），（xm ，ym ），如图2-5所示。 单元的节点位移列阵为： 1）节点位移{?}e 和单元内任意一点位移{f}关系 首先，我们要确定三角形单元内各点的位移变化规律。即当节点位移确定时，单元内各点的位移应如何插值？ 设单元内任一点的位移是该点坐标（x,y)的线性函数。对于采用三角