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第一章 绪论 * * 1.1 现代科学计算的一般过程 实际 问题 数学 模型 数值 方法 程序 设计 上机 计算 结果 分析 1.1.1对实际工程问题进行建模 数学建模：应用有关学科知识和数学理论，将实际工程问题，用精炼准确 的数学语言对其关键的核心部分进行描述并给出数学模型，这 一过程常称为数学建模。 数值计算方法主要讨论能用确定的数学解析式描述的实际工程计算问题。 什么样的模型是好的数学模型？ 符合以下两条： 1）反映问题本质 2）便于计算机实践 按数学性质 确定型随机型 离散型连续型 按表达式 分类： 1.1.2 对数学问题给出数值计算方法 现代计算机 简单的算术运算和逻辑运算 科学和工程计算问题 数学模型数值化 计算机 数值计算方法 不同的数学问题 不同的数值计算方法 数值计算方法优劣的评价标准 速度 精度 1.1.3 对数值计算方法进行程序设计 一个好的数值计算方法要通过程序设计，才能在计算机上实践。程序 设计要求用最简练的计算机语言、最快的速度、最少的存储和准确的计算 结果。这就要求程序设计者不仅要掌握数值计算方法，而且要熟悉并能熟 练使用计算机语言，准确无误地描述每一个算法。 1.1.4 上机计算并分析结果 前面三个阶段工作的结果如何？ 上机计算的结果与工程实际符合？ 所做研究是否具有推广价值？ 1.2 现代科学计算的一般过程 1.2.1数值计算方法的研究内容 数值代数 数值逼近 微分方程数值解法 最优化理论与方法 线性方程组，矩阵特征值特征向量， 非线性方程方程组的数值解法。 各种函数逼近问题 数值积分数值微分 常微分方程 偏微分方程 1.2.2数值计算方法的特点 例1.1 利用克拉姆法则求解线性方程组，当方程组阶数n很大，例如n=20,计算机运算速度1亿次/秒,大约需算几十万 年;好方法如高斯消去法不到一分钟就可以得到结果。另外，有计算结果可靠性问题。 这个例子说明研究数值计算方法很有必要，而数值 计算方法所研究的正是在计算效率上最佳的或近似最佳 的方法，而不是象克拉姆法则这样的方法。 例1.2 计算 ? 公式一： 注意此公式精确成立 记为 则初始误差 ? ?? ? ! ! ! 考察第n步的误差 我们有责任改变。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 迅速积累，误差呈递增势。 可见初始的小扰动 ? 公式二： 注意此公式与公式一 在理论上等价。 方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n N )。 可取 取 考察反推一步的误差： 以此类推，对 n N 有： 误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法 /* stable algorithm */ 通过上面的两个例子我们可以发现，数值计算方法 与纯数学有明显的不同，概括起来有以下几个特点： 第一 面向计算机的数值计算方法理论的发展与计算机技术的 发展密切相关。 第二 数值计算方法的误差分析、收敛性与数值稳定性分析都是 建立在相应的数学理论基础之上的。 第三 数值计算方法的可行性。 第四 需要通过实际去验证数值计算方法。 本课程的理论基础：微积分，线性代数，常微分方程。可根据课时需要自行选择授课内容。 从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 /* Modeling Error */ 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */ 求近似解 —— 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ ) 机器字长有限 —— 舍入误差 /* Roundoff Error */ 1.3计算过程中的误差及其控制 1.3.1误差的来源与分类 1.3.2误差与有效数字 /* Error and Significant Digits */ ? 绝对误差 /* absolute error */ 其中x为近似值，x*为x的精确值。 ，例如： 工程上常记为 ，称为绝对误差限 /* accuracy */， 的上限记为 注：e理论上讲是唯一确定的，可能取正，也可能取负。 e 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。 然而，绝对误差限的大小不能完全刻画近似值的精确程度， 例如：某量的精确值为 其近似值为 另一 个量的精确值为 相应的近似值为 这两个量的 绝对误差限都是 ，但是显然 的精度要比 的精度好。 为反