《《高等数学》第四册习题解答（数学物理方法》.doc

第一章 复数与复变函数（1） 1.计算 3.设试用三角形式表示及。 解： 11.设三点适合条件及试证明是一个内接于单位圆的正三角形的顶点。 证明： 所组成的三角形为正三角形。 为以为圆心，1为半径的圆上的三点。 即是内接于单位圆的正三角形。 . 17.证明：三角形内角和等于。 证明：有复数的性质得 第一章 复数与复变函数（2） 7.试解方程。 解:由题意,所以有; ;所以; ;;;. 12．下列关系表示的z点的轨迹的图形是什么？它是不是区域？ 解：此图形表示一条直线，它不是区域。 解：即此图形为的区域。 解：此图形为的区域。 解：此图形表示区间辐角在的部分。 解：表示半径为1的圆的外上半部分及边界，它是区域。 解：它表示虚部大于小于等于的一个带形区域。 解：此图形表示两圆的外部。 解：，，它表示两相切圆半径为的外部区域。 解：此图形表示半径为2的圆的内部，且的部分，它是区域。 ） 解：此图象表示半径为2的圆的内部且辐角主值在的部分，它是区域。 第二章 解析函数（1） 4.若函数在区域D上解析，并满足下列的条件，证明必为常数. 证明：因为在区域上解析，所以。 令，即。 由复数相等的定义得：，。 所以，(常数) ，(常数)，即为常数。 5 .证明函数在平面上解析，并求出其导数。 （1） 证明：设= 则， ； ； 满足。 即函数在平面上可微且满足条件，故函数在平面上解析。 8．由已知条件求解析函数， ，。 解：， 。 所以即是平面上调和函数。由于函数解析，根据条件得，于是，,其中是x的待定函数，再由C—R条件的另一个方程得=， 所以，即。于是 又因为，所以当，时，得 所以。 第二章 解析函数（2） 12.设是的解析函数，证明， 。 证明：是z上的解析函数，所以，在上处处可微，即，， 所以，，所以， 同理，，所以， 即得所证。 14.若，试证：（1）。 证： = = 18.解方程。 解：， 即，设 ，得，即。 20.试求及。 解： ， 22，求证 证: (x,y,均为实数)，所以 当则极限趋近于z轴，有 当时，则极限趋于z轴，有， 故。 第三章 柯西定理 柯西积分（1） 1.计算积分积分路径是直线段。 解：令，则： 。 2.计算积分路径是（1）直线段，（2）右半单位圆，（3）左半单位圆。 解：， ，则 ， 5.不用计算，证明下列分之值为零，其中为单位圆。 （1），（2），（3）， 解：（1）因为函数在单位圆所围的区域内解析，所以。 （2）因为函数在单位圆内解析，所以。 （3） 6.计算，，，。 解：。 。 。 。 7.由积分之值，证明，其中取单位圆。 证明：因为被积函数的奇点在积分围道外，故，现令，则在上，， ， 比较可得：， 。 第三章 柯西定理 柯西积分（2） 8.计算： （1）。 解： 。 10.设表圆周，，求。 解：设，它在复平面内解析，故当时，则由哥西积分公式有，所以 。 11.求积分从而证明：。 解：由于，函数在处不解析，。 令，则 ，故 ，所以 ，即 。 13.设，利用本章例5验证哥西积分公式以及哥西求导公式。提示：把写成。 证明：设，则式的右边为可写为： 由哥西积分定理有： ，所以右边， 即 左边=右边。 再由式子可知当时，，成立。 假设当时，等式成立。则 当时，成立。 所以。 14.求积分（1），（2），其中 解：（1）被积函数有奇点，该奇点在积分围道内，由哥西积分求导公式有： 第四章 解析函数的幂级数表示（1） 2.将下列函数展为含的幂级数，并指明展式成立的范围： （1），（2）， （3），（4）, (5)(6)， （1）解：原式= （2）解：原式= |z|∞ （3）解：原式= |z|∞ （4）解：原式= |z|∞ （5）解：原式= |z|∞ （6）解；原式= |z|1 4．写出的幂级数至少含项为止，其中。 解：， 两式相乘得 5．将下列函数按的幂展开，并指明收敛范围： （1）， （2）， （3）， （4）， 解：（1）原式= （2）原式= （3） （4）解：原式 6．设，证明，指出此级数展式之前5项，并指出收敛范围。 解：（）， ） 原式= 第四章 解析函数的幂级数表示（2） 9．将下列函数在指定环域内展成罗朗级数： （1） 解：原式 在内，上式 在内，上式 (2)， 解：原式 （3） 解：原式 （4）， 解：当时，原式= 当时，原式= （5），。 解： 。 10．将下列各函数在指定点的无心邻域内展成罗朗级数，并指出成立的范围： ，其中。 解： ， 解：， 11．把展成下列级数： （1）在上展