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混沌理论 Content 混沌的起源与发展 混沌的概念 混沌的特点 混沌现象举例 混沌的研究方法 混沌的起源与发展 公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见性。 直到20世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛注意，到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。其后，“混沌学”得到了迅速发展，到了八十年代，更在世界上掀起了混沌现象研究的热潮。 混沌的概念 混沌，英文为chaos，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一词由李天岩（Tian-yan Li）和约克（Yorke）于1975年首先提出。 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏感初始条件的非周期行为”。 混沌的概念 n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自然数k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。 n周期轨道的定义：当x0为f 的一个n周期点时，称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 的n周期轨道。 Li-Yorke定理： 设连续自映射 ，I 是 R 的一个闭区间，如果： ① 存在一切周期的周期点； ②存在不可数子集S，S不含周期点，使得 118 则称 f 在S上是混沌的。 混沌的概念 Li-Yorke定理给出了混沌数学上的定义，它说明混沌系统应该具有三种性质： 存在所有周期的周期轨道； 存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，两种状态交替出现； 任一混沌轨道不趋于任一周期轨道。 混沌的特点 对初值的敏感性 混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千里”。 1963年，荷兰科学家洛伦兹(Hendrik Antoon Lorenz)在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的著名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运动流体块中的对流为模型，提出了著名的Lorenz方程。Lorenz用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不同，即解对初值的极端敏感性，就是著名的蝴蝶效应。 混沌的特点 内在随机性 确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方程产生的随机性称之为内在随机性。 混沌是确定性非线性系统的内在随机性，这是混沌的重要特征之一。 混沌的特点 长期不可预测性 由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的微小差异可能对以后的时间演化产生巨大的影响，因此不可能长期预测将来某一时刻之外的动力学特性，即混沌系统的长期演化行为是不可预测的。 混沌的特点 4. 奇怪吸引子 相对于简单吸引子（不动点、极限环、环面） 又称混沌吸引子。由无限层的条带经过伸长和折叠的几何图像。它表示系统的状态随时间呈无规则的非周期变化; 具有混沌的一切特征，对初始条件的敏感性，具有非整数的维数，即使原来的微分方程连续的依赖于参数，奇怪吸引子的结构也不是连续随参数变化，而往往是在参数变化的过程中其整体结构会发生突变，奇怪吸引子具有无穷嵌套的自相似结构。 正如我们前面所说的，系统的混沌运动在相空间中无穷地缠绕、折叠和扭结，构成了具有无穷层次的自相似结构，这种结构称为奇异吸引子。典型的有： 一、奇异Lorenz吸引子 考虑Lorenz非线性微分方程组 通常，人们用常数 ，另一组是 。有时称 为Prandtl数， 为Rayleigh（雷利）数。系统 既不能形成极限环（一个吸引集，它的轨道或轨线收敛且轨线具有周期性）也不能达到一个稳定状态，代之的是一个确定性的混沌。像其他混沌系统一样，Lorenz系统对初值很敏感，不管两个初始状态如何地挨近，它终将还是离散。尽管方程组看起来是足够地简单，但它还是引出了令人惊异的轨道，即奇异吸引子。 二、奇异Rossler(罗斯洛)吸引子