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* * 第六节 二元函数的极值 一、二元函数的极值 二、二元函数的最大值与最小值 三、条件极值 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 一、二元函数的极值 ,点 为极大值点, 为极大值 定义：设函数 在点 定义，若该邻域内 的某个邻域内有 ,点 为极小值点, 为极小值 （亦称点 为驻点） 定理1（极值的必要条件）:若函数 在点 有极值，且 在点 偏导数存在,则 该点的 偏导数必为零 定理2（极值存在的充分条件）: 设点 是函数 的驻点，且函数在点 的某邻域内二阶 偏导数连续，令 则 (1)当 时,点 ）时,点 是极值点,且 （i）当 （或 ）时,点 是极大值点； (ii)当 （或 是极小值点. (２)当 (３)当 时,点 不是极值点． 时,点 不是极值点． 可能是极值点也可能 （2）解方程组 得驻点 及 例1 求函数 的极值． 解: （1）求偏导数 结论 : 在 处 , 在 处 , 取得极大值 函数在 处 无极值 函数在 注意:对一般函数,可能的极值点包括驻点或至少一 个偏导数不存在的点. 二、二元函数的最大值与最小值 类似一元函数,求多元函数在有界闭区域上的可能 最值点包括驻点和偏导数不存在的点和边界点.分别 求出各点处的函数值,比较其大小即可. 例2 在 坐标面上找一点 使它到三点 的距离平方和为最小． 解 设 为 面上的任一点,则 到 三点距离的平方和为 求 的偏导数，有 解方程组 得驻点 由问题的实际意义知，到三点距离平方和最小的点 一定存在,又只有一个驻点,因此 即为所求点． *