高等数学 -梅挺 第4章定积分及其应用.pptVIP

高 等 数 学 梅挺 主编 中国水利水电出版社 第4章 定积分及其应用 主要内容: 一、定积分的概念与性质 二、微积分学基本定理 三、定积分的计算 四、定积分在几何中的应用 五、定积分在其他方面的应用 六、广义积分 二、微积分学基本定理 三、定积分的计算方法 续 四、定积分在几何中的应用 步骤： 步骤： 法2 讨论： 五、定积分在其他方面的应用 3、定积分在医学上的应用 六、广义积分 底边为4米，高为3米的任意三角形薄板， 垂直地浸入水中，顶点在上，底边与水平面平 行，且底边距水平面4米(如图)。求此三角形 薄板单侧所受的压力。 例28 解：取水平面为 y 轴，取 x 轴垂直向下且过 三角形薄板顶点建立直角坐标系(如上图所示)。 （待续） （续） 由 相似于 得到 所以三角形薄板单侧所受的压力 （牛顿） 在一临床试验中，先让病人禁食，以便降 低体内的血糖含量，然后注射大量的葡萄糖，经 测定血液中胰岛素浓度符合下列函数： 例29 其中 ，时间 t 的单位为分，求1小时内 血液中胰岛素的平均浓度。 为了便于应用，取消这里的下标 i ,同时 事实上， 即： 可见， 例19 法1 2、直角坐标系下平面图形的面积 法1，如图 例20 法2，如图 由于所求面积具有对称性， 所以选取第一象限进行计算． 解： 例21 一般地，求图形的面积通常有以下各种情形： 方法：上—下 Ⅰ 方法：右—左 Ⅱ 须拆分成两部分或多部分进行计算 Ⅲ 选取积分变量，以可以进行积分运算、分割部 分区域尽量少为原则。 旋转体： 由一平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周而成的立体. 圆锥、圆柱、圆台、球体等到分别由三角形、矩阵、梯形、半圆等旋转而成． 如： 3、旋转体的体积 同理： ★注意： 解： 例22 解： dx x + x 例23 要求一组离散数据的平均值并不难，比如一个 球队的平均身高、一个班的平均成绩等等。 但对于一个连续函数来说，用这样的方法则不 行。比如要求一昼夜间的平均气温、变速直线 运动的平均速度、交流电在一个周期内的平均 电流等等。 这类问题也可以利用微元法的思想来解决。 1、函数的平均值 即有公式： 解： 例24 例25 计算纯电阻电路中正弦交流电 在一个周期内的平均功率. 解：因为 ，所以 物体在变力 作用下，沿直线从 移动到 所做的功。 讨论： 近似地看作小区间上的 常力，得到功的微元： 于是，所求的功为： 可用微元法解，取位移 为积分变量， 的变化区间是 。在该区间上任取一个 小区间 ， 2、定积分在物理学中的应用 1)功 例26 处的分力所作的功近似代 似看作恒力作功，即用点 解：建立如上图所示坐标系，在区间 上任取一个 在这个小区间上的分力作功可以近 力在小区间 上对物体所作的功。 小区间 替 即功的微元为 （待续） 为锐角，而 ） （因 又 所以 （续） 将物体从 所以，力 处移动到 处 所作的功为 例27 （待续） （续） ★注意解题关键在于： 2)液体静压力 由物理知识可知，深度h处的液体的压强为 其中， 为重力加速度。 为液体密度， 如果有一个面积为S的平板,水平放置在深为h处的液体 中,平板所受到的压力的方向垂直于平板的表面,大小为 如果平板垂直放置在液体中，由于深度不同，液体的 压强也就不同，平板一侧所受的压力就不能用上述方 法来计算。 这仍然是一个定积分的应用问题。 及 轴所围成（如下图） 。 设薄板的形状由曲线 ，直线 证明： 性质7（定积分中值定理） 任何一个曲边梯形的面积，总有一个与它是 相同底的矩形与之面积相等．（如下图） 几何上积分中值定理表示： （一）积分上限函数及其导数 积分上限函数具有以下性质： 该定理说明： 更进一步地： 证明： 利用定积分性质、变上限函数性质以及 复合函数求导法则证明。 解： 当 极限表达式是 型不定式， 用洛必达法则，得： 例2 证： 在 内单调增加． 例3 ★注意： 例4 设 ，求 解：设 ，由复合函数的求导法则和定理4.3知 例5 设 ，求 解：令 由复合函数的求导法则，定积分 的性质和定理4.3有 常记为： 方法： （二）牛顿—莱布尼兹公式 解： 例7 解： 例8 解： 例6 解： 例9 由牛顿—莱布尼兹公式可知，计算定积分的 问题转化为求不定积分的问题。 上一章学习了不定积分的换元、分部积分法， 相应地，定积分也有换元、分部积分法。 1、换元积分法 ★注意： 例10 解： 例11 求 解：设 ，则 ，