概率论与数理统计 -牛莉 第4章 4.pptVIP

第4章 大数定律和中心极限定理 4.1 大数定律 4.2 中心极限定理 4.2 中心极限定理 * 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 4.1 大数定律 4.1.1 切比雪夫（Chebyshev）不等式 定理1（切比雪夫不等式）设随机变量 具有有限方差 ，则对任一正数 ． ，有 切比雪夫不等式的等价形式是 设想，取 ，以及记 ，于是有 可见，不管随机变量 服从什么分布， 落入区间 内的概率不小于 例1 已知随机变量 的期望 ，方差 ，试估计 的大小． 解 因为 由切比雪夫不等式，得 即 4.1.2 切比雪夫大数定理 定理2（切比雪夫大数定理）假定 为两两相互独立的随机变量序列，且方差一致有上界， 即存在有限常数 ,使得 则对任一正数 ,有 推论（辛钦大数定理）设随机变量 相互独立且服从同一分布, 则 即: 个相互独立同分布的随机变量的算术平均值 以极大的可能性接近于它们的数学期望 . 4.1.3 伯努利大数定理 定理3（伯努利大数定理）假设事件 在一重伯努利试验中 发生的概率为 , 记随机变量 为A在n重伯努利试验中发生 的次数． 则对于任一正数 ，有 伯努利大数定理确切的数学含义是频率 将以概率1收敛于事件的概率 . 4.2.1 独立同分布中心极限定理 定理4（独立同分布中心极限定理）设 相互独立同分布，且 则对一切实数 ，有 例1 已知相互独立的随机变量 都在区间 试求这些随机变量总和的绝对值不超过10的概率． 上服从均匀分布， 解 由均匀分布的题设可知 于是，对于它们的总和 ，有 ,故 4.2.2 棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理 定理5（棣莫弗－拉普拉斯中心极限定理）设 相互独立且 则对任意一个 ，总有 由此定理可知：当 可近似地用正态分布 充分大时，二项分布 来代替．因此，当 ,且 充分大时，有 *