概率论与数理统计 -牛莉 第5章 5.2.1.pptVIP

第5章 数理统计初步 5.2 统计推断 统计推断包括：参数估计和假设检验． 5.2.1参数估计 总体 的分布函数形式已知或未知，估计该总体 分布的未知参数或总体的某些数字特征的问题，称 为参数估计问题． 参数估计分：点估计和区间估计． 一、参数的点估计 1．点估计的概念 设 为总体 分布中的未知参数，即待估参数， 从总体 中抽取一个样本 ，相应 的一个样本观察值为 ．利用样本 构造适当的统计量 ，用 它的观察值 来估计未知参数 的方 法称为点估计．称统计量 为 的估计 量，称 为 的估计值．在不致混淆的 情况下，统称估计量与估计值为估计，简记 为 ． 2．矩估计法——数字特征法 矩估计法就是利用样本矩来估计对应的总体矩． 设总体 的一个样本为 ，总体矩 为 ，样本矩为 则令　　　　　 ， 为未知参数的个 数． （1）一个未知参数 解方程 ，便得到矩估计． 例3 设 为来自总体 的样本， 求 的矩估计． 解 ，令 ，即 ，解 得 ，所以 的矩估计为 ． （2）两个未知参数 解方程组 便可得到矩估计，其中 ． 例4 设总体 的密度函数为 为来自总体 的样本，求 的 矩估计． 解 例5 已知某批灯泡寿命 ，今从中抽取4只进行寿命试验，测得数据如下：（单位：小时）1502，1453，1367，1650，试估计参数 和 ． 解 由方程组 可直接得出 和 的 矩估计． 的矩估计： （1502+1453+1367+1650）=1493（小时）， 的矩估计： = = = 10551.5（小时平方）． 3．点估计的优良标准 对于给定的总体未知参数，点估计的求法不近 相同，那么就有必要给出评价同一参数不同的 点估计量好坏的标准． （1）无偏性 估计量是一个随机变量，对于不同的样本观察 值得到的参数估计值也是不同的，但总希望这 些值能在待估计的参数真值附近摆动，且这种 摆动尽可能地小，这就是无偏性的概念． 定义6 设 为未知参数 的估计量，若 ，则称 为 的无偏估计． 定理4 样本均值是总体均值的无偏估计；样 本方差是总体方差的无偏估计． （2）有效性 定义7 设 是 的两个无偏估计量， 若 ，即 ,则称 较 有效． 例6 设总体 的数学期望和方差分别为 和 ， 为来自总体 的容量为 的样本，问下面参数 的三个无偏估计量 中哪一个更有效？ 解 容易验证 皆为 的无偏估计， 分别求它们的方差 = = ， 同理有 ， ， 故　　 　　 ， 所以 最为有效． 二、参数的区间估计 置信区间 设总体分布中含有一个未知参数 ， 若由样本确定的两个统计量 及 ，对于给定 的有 　　　　， 则称