高考数学二轮专题突破课堂讲义 第26讲 矩阵与变换.docVIP

第26讲　矩阵与变换 近几年江苏高考矩阵与变换选讲重点考查二阶矩阵与平面向量、矩阵的变换、逆矩阵及矩阵特征值和特征向量题目以简单题、中档题为主复习中不宜过难．考试说明： 序号 内容 要求 A B C 矩阵的有关概念 √ 二阶矩阵与平面向量 √ 常见的平面变换 √ 矩阵的复合与矩阵的乘法 √ 二阶逆矩阵 √ 二阶矩阵的特征值和特征向量 √ 二阶矩阵的简单应用 √ 例1 已知矩阵A＝的逆矩阵A－1＝向量α＝(1) 求矩阵A；(2) 求A的值．解：(1) 矩阵A＝(2) (解法1)矩阵A＝所以A＝(解法2)矩阵A的特征多项式为(λ)＝＝λ－5λ＋6令f(λ)＝0得λ＝2＝3.当λ＝2时得α＝；当λ＝3时得α＝又α＝－2α＋α＝A(－2α＋α)＝－2A2＋A＝－2(λ)＋λ＝－2＋3＝ 设二阶矩阵A、B满足A－1＝(BA)－1＝求B－1解：设B－1＝因为(BA)－1＝A－1－1所以＝即解 所以B－1＝已知矩阵A的逆矩阵A－1＝(1) 求矩阵A；(2) 求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．解：因为矩阵A是矩阵A－1的逆矩阵且|A－1＝2×2－1×1＝3≠0所以A＝＝(2) 矩阵A－1的特征多项式为f(λ)＝＝λ－＋3＝(λ－1)(λ－3)令f(λ)＝0得矩阵A－1的特征值为λ＝1或λ＝3所以ξ＝是矩阵A－1的属于特征值λ＝1的一个特征向量＝是矩阵A－1的属于特征值λ＝3的一个特征向量． 已知矩阵的一个特征值为4求另一个特征值及其对应的一个特征向量．解：矩阵的特征多项式为(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－6因为λ＝4是方程f(λ)＝0的一个根所以x＝2.由(λ－1)(λ－2)－6＝0得λ＝－1.(6分)设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝则得x＝－y令x＝1则y＝－1则矩阵的另一个特征值为－1对应的一个特征向量为＝已知矩阵A＝的一个特征根为λ＝2它对应的一个特征向量为α＝(1) 求m与n的值；(2) 求A－1解：(1) 由Aα＝λα＝λ＝2 (2) 设A－1＝＝E＝解得即A－1＝ 已知矩阵A＝的一个特征值为λ＝－1其对应的一个特征向量为α＝已知β＝求A解：由题意Aα＝＝＝－∴ A的特征多项式为f(λ)＝(λ－1)λ－2＝λ－λ－2＝0则＝－1＝2.当λ＝2时特征方程为属于特征值λ＝2的一个特征向量为α＝＝＝－2＋3＝A(－2＋3)＝(－2)×(－1)＋3×2＝已知矩阵M＝对应的变换将点A(1)变为A′(0)，将曲线C：xy＝1变为曲线C′.(1) 求实数a、b的值；(2) 求曲线C′的方程．解：(1) 由题知＝即解得(2) 设P′(x)是曲线C′上任意一点由曲线C上的点(x0，y0)经矩阵M所表示的变换得到所以＝即 因为x＝1所以＝1即－＝1即曲线C′的方程为－＝1. 若圆C：x＋y＝1A＝(a0)对应的变换下变成椭圆E：＋＝1求矩阵A的逆矩阵A－1解：设点P(x)为圆C：x＋y＝1上任意一点经过矩阵A变换后对应点为P′(x′)， 则＝＝所以因为点P′(x′)在椭圆E：＋＝1上所以＋＝1.又圆的方程为x＋y＝1故即又a0所以a＝2＝所以A＝所以A－1＝ 1. (2013·江苏卷)已知矩阵A＝＝求矩阵A－1解：设矩阵A的逆矩阵为则＝即＝故a＝－1b＝0＝0＝矩阵A的逆矩阵为A－1＝－1＝＝(2014·江苏卷)已知矩阵A＝＝向量a＝、y是实数若Aa＝Ba求x＋y的值．解：由题意得解得＋y＝已知矩阵A＝向量β＝求向量α使得A＝β.解：A＝＝设α＝由A＝β得＝从而解得所以α＝点拨：本题主要考查矩阵运算等基础知识考查运算求解能力．已知矩阵A的逆矩阵A－1＝求矩阵A的特征值．解：∵ A－1＝E＝(A－1)－1－1＝＝(A－1)－1＝矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ－3λ－4.令f(λ)＝0解得矩阵A的特征值λ＝－1＝4.点拨：考查矩阵的基础知识考查运算求解能力． (本题模拟高考评分标准满分10分)(2014·苏锡常镇模考)已知点M(3－1)绕原点逆时针旋转90后且在矩阵对应的变换作用下得到点N(3)，求a、b的值．解：绕原点逆时针旋转90对应的变换矩阵为(2分)＝(5分)则由＝(7分)得＝3＝1.(10分) 已知二阶矩阵A＝矩阵A属于特征值λ＝－1的一个特征向量为α＝属于特征值λ＝4的一个特征向量为α＝求矩阵A.解：＝－＝4解得矩阵A＝ - 1 -