高考数学二轮复习 专题检测33 椭圆问题中最值得关注的几类基本题型.docVIP

33　椭圆问题中最值得关注的几类基本题型 1．“2m6”是“方程＋＝1表示椭圆”的________条件． 答案　必要不充分 解析　若＋＝1表示椭圆， 则有所以2m6且m≠4， 故“2m6”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件． 2．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是________． 答案　椭圆 解析　点P在线段AN的垂直平分线上， 故PA＝PN.又AM是圆的半径， 所以PM＋PN＝PM＋PA＝AM ＝6MN， 由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆． 3．已知椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且PF1，F1F2，PF2成等差数列，则椭圆方程为________． 答案　＋＝1 解析　设椭圆的标准方程为＋＝1(ab0)． 由点(2，)在椭圆上知＋＝1. 又PF1，F1F2，PF2成等差数列， 则PF1＋PF2＝2F1F2， 即2a＝2·2c，＝. 又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6. 4．(2014·大纲全国改编)已知椭圆C：＋＝1(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为________． 答案　＋＝1 解析　由e＝，得＝.① 又△AF1B的周长为4， 由椭圆定义，得4a＝4，得a＝， 代入①得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2， 故C的方程为＋＝1. 5．(2014·福建改编)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________． 答案　6 解析　如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2＋(y－6)2＝r2(r0)，与椭圆方程＋y2＝1联立得方程组，消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0. 令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0， 解得r2＝50， 即r＝5. 由题意易知P，Q两点间的最大距离为r＋＝6. 6.如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是________． 答案　 解析　设AF1＝m，AF2＝n， 则有m＋n＝4，m2＋n2＝12， 因此12＋2mn＝16，所以mn＝2， 而(m－n)2＝(2a)2＝(m＋n)2－4mn＝16－8＝8， 因此双曲线的a＝，c＝，则有e＝＝. 7．椭圆＋＝1(ab0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2.若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为________． 答案　 解析　由椭圆的性质可知：AF1＝a－c，F1F2＝2c，F1B＝a＋c， 又AF1，F1F2，F1B成等比数列， 故(a－c)(a＋c)＝(2c)2， 可得＝. 8．(2014·辽宁)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则AN＋BN＝________. 答案　12 解析　椭圆＋＝1中，a＝3. 如图，设MN的中点为D， 则DF1＋DF2＝2a＝6. ∵D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点， ∴BN＝2DF2， AN＝2DF1， ∴AN＋BN＝2(DF1＋DF2)＝12. 9．(2014·江西)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(ab0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________． 答案　 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ∴＋＝0， ∴＝－·. ∵＝－， x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴－＝－， ∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2， ∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝. 10．(2014·安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0b1)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若AF1＝3F1B，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________． 答案　x2＋y2＝1 解析　设点B的坐标为(x0，y0)． ∵x2＋＝1， ∴F1(－，0)，F2(，0)． ∵AF2⊥x轴，∴A(，b2)． ∵AF1＝3F1B，∴＝3， ∴(－2，－b2)＝3(x0＋，y0)． ∴x0＝－，y0＝－. ∴点B的坐标为. 将B代入x2＋＝1， 得b2＝. ∴椭圆E的方程为x2＋y2＝1. 11．(2014·课标全国Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为，求C的离心率； (2)若直线MN在y轴上的截距为2，且MN＝5F1N，求a，b. 解　(1)根据c＝及题设知M(c