高考数学二轮专题突破课堂讲义 第10讲 等差数列与等比数列.docVIP

专题三 数　　列第10讲　等差数列与等比数列 1. 理解等差、等比数列的概念掌握等差、等比数列的通项公式及前n项和公式．数列是高中数学中的重要内容在考试说明中等差、等比数列都是级要求因而考试题多为中等及以上难度试题综合考查了函数与方程分类讨论等数学思想．填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的性质考查运算求解能力；解答题综合性很 1. 在等比数列{a中已知a＝1＝8.设S为该数列的前3n项和为数列{a的前n项和．若S＝tT则实数t的值为________．答案：7解∵ a4＝a＝q＝8＝2＝＝8－1.由题意数列{a是首项为1公比为8的等比数列＝＝(8－1)由S＝tT得t＝7.已知{a为等差数列＋a＋a＝105＋a＋a＝99以S表示{a的前n项和则使得S达到最大值时的n值是________答案：20解析：∵ a＝41－2n＞0＜0.已知等比数列{a为递增数列且a＝a(an＋a＋2)＝5a＋1则数列的通项公式a＝__．答案：2解析：∵ a＝a(a1q4)2＝a＝q＝q(an＋a＋2)＝5a＋1(1＋q)＝5a(1＋q)＝5q解得q＝2或q＝(舍去)，∴ an＝2设x、y、z是实数若9x、12y、15z成等比数列且、、成等差数列则＋＝________．答案：解析：由题知解得xz＝＝＋z＝从而＋＝＝＝－2＝－2＝ 题型一 等差、等比数列基本量的计算等差数列{a的各项均为正数且a＝1前n项和为S；{b为b1＝1前n项和为T且b＝12＝81.(1) 求a与b(2) 求S与T；(3) 设c＝a的前n项和为M求M解：(1) 设{a的公差为d的公比为q则d为正数＝1＋(n－1)d＝q－1依题意有解得或(舍去)．故a＝1＋2(n－1)即a＝2n－1＝3－1(2) Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n＝＝(3) cn＝(2n－1)×3－1＝1＋3×3＋5×3＋…＋(2n－1)×3－1＝1×3＋3×3＋5×3＋…＋(2n－1)×3－②得－2M＝1＋2×3＋2×3＋…＋2×3－1－(2n－1)×3即M＝(n－1)×3＋1. 已知等差数列{a的公差d不为0且a＝a＝a＋a(1) 求数列{a的通项公式；(2) 设数列{a的前n项和为S求满足S－2a－20＞0的所有正整数n的集合．解：(1) 由a＝a得a＋2d＝(a＋6d)　①由a＝a＋a得a＋d＝2a＋8d即a＝－7d.　②代入①得－5d＝d. ∴ d＝－5或d＝0(不符合题意舍去)．则a＝35.＝35＋(n－1)(－5)＝－5n＋40.(2) Sn＝＝不等式S－2a－20＞0即－2(－5n＋40)－20＞0.整理得n－19n＋40＜0.＜n＜则＜n＜即2＜n＜17.所求n的值的集合为{3等差、等比数列的证明与判定数列{a满足a＝1＋1＝(n＋1)a＋n(n＋1)(1) 证明：数列是等差数列；(2) 设b＝3，求数列{b的前n项和S(1) 证明：由已知可得＝＋1即－＝1所以是以＝1为首项为公差的等差数列．(2) 解： 由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n所以a＝n从而可得b＝n·3＝1×3＋2×3＋…＋(n－1)×3－1＋n×31×32＋2×3＋…＋(n－1)3＋n×3＋1－②得－2S＝3＋3＋…＋3－n·3＋1＝－n·3＋1＝所以S＝ 已知等差数列{a的前n项和为S＝1＋＝9＋3(1) 求数列{a的通项a与前n项和S；(2) 设b＝(n∈N)，求证：数列{b中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1) 解：由已知得＝2故a2n－1＋＝n(n＋)．(2) 证明：由(1)得b＝＝n＋假设数列{b中存在三项b(p，q，r互不相等)成等比数列则b＝b即(＋)＝(p＋)(r＋)(q2－pr)＋(2q－pr)＝0. ∵ p、q、r∈N∴ ＝pr即(p－r)＝0, ＝r.这与p≠r矛盾故数列{b中任意不同的三项都不可能成为等比数列．可转化为等差、等比数列的问题已知数列{a中＝1＋a＋1＝2(n∈N*)，bn＝(1) 试证明数列是等比数列并求数列{b的通项公式；(2) 在数列{b中是否存在连续三项成等差数列？若存在求出所有符合条件的项；若不存在说明理由；(3) 试证在数列{b中一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s使得b成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系．(1) 证明：由a＋a＋1＝2得a＋1＝2－a所以＝＝＝－1.因为a－＝所以数列{a－是首项为公比为－1的等比数列所以a－＝(－1)－1即a＝[2－(－1)]，所以b＝2－(－1)(2) 解：假设在数列{b中存在连续三项b－1＋1(k∈N)成等差数列则b－1＋b＋1＝2b即[2k－1－(－1)－1]＋[2＋1－(－1)＋1]＝2[2－(－1)]，即2－1＝(－1)－1若k为偶数则2－1＞0(－1)－1＝－4＜0所以不存