高考数学二轮专题突破课堂讲义 第5讲 不等式及其应用.docVIP

第5讲　不等式及其应用 1. 理解并掌握不等式的基本性质及解法．掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理并能灵活运用其解决问题． 1. 已知集合A＝集合B＝{x|y＝(x2＋x－2)}则A∩B＝________答案：(1) 解析：A＝(－1)，B＝(－∞－2)∪(1＋∞)＝(1)．设0ab＋b＝1则＋b中的最大的是________答案：b解析：由0＜a＜b＋b＝1得0＜a＜＜b＜1则b－(a＋b)＝b－b－(1－b)＝(2b－1)(1－b)＞0.已知f(x)＝(x－2)若实数m、n满足f(m)＋f(2n)＝3则m＋n的最小值是________．答案：7解析：由(m－2)＋(2n－2)＝3得(m－2)(n－1)＝4则m＝＋2所以m＋n＝＋2＋n＝＋(n－1)＋3≥2＋3＝7(当且仅当“n＝3”时取等号)故m＋n的最小值为7.若正数a、b满足2a＋b＝1则4a＋b＋的最大值为________．答案：解析：1＝2a＋b≥2≤.设t＝则＜，所以4a＋b＋＝1－4t＋t＝－4＋. 题型一 三个“二次”之间的关系应用问题设函数f(x)＝ax＋bx＋c(a、b、c∈R)．(1) 已知f(1)＝－若f(x)1的解集为(0)，求f(x)的表达式；若a0求证：函数f(x)在区间(0)内至少有一个零点．(2) 已知a＝1若x、x是方程f(x)＝0的两个根且x、x(m，m＋1)其中m∈R求f(m)f(m＋1)的最大值．(1)①解： ∴ f(x)＝－2x＋1.证明：a＋b＋c＝－(0)＝c(1)＝－＜0(2)＝4a＋2b＋c＝a－c若c＞0则f(0)＞0(1)＜0函数f(x)在(0)上连续则f(x)在(0)内必有一实根；若c≤0＞0, 则f(2)＝a－c＞0f(1)＜0函数f(x)在(1)上连续(x)在(1)内必有一实根．综上函数f(x)在区间(0)内至少有一个零点．(2) 解：f(x)＝(x－x)(x－x)，x1、x(m，m＋1)－x＜0－x＜0＋1－x＞0＋1－x＞0, (m)·f(m＋1)＝(m－x)(m－x)(m＋1－x)(m＋－)＝[(x－mm＋1－x)][(x2－m)(m＋1－x)]≤·＝当且仅当x＝x＝时取等号(m)f(m＋1)的最大值为 已知f(x)＝x－x＋k若方程f(x)＝2在上有两个不相等的实数根．(1) 确定k的值；(2) 求的最小值及对应的x值．解： (1) 设g(x)＝f(x)－2＝x－x＋k－2由题设有＜k＜又k∈Z＝2.(2) ∵ k＝2(x)＝x－x＋2＝＋＞0＝f(x)＋＝4当且仅当f(x)＝即[f(x)]＝4时取等号．∵ f(x)＞0(x)＝2时取等号即x－x＋2＝2解得x＝0或1.故当x＝0或1时取最小值4.含参数的不等式的解集问题已知函数f(x)＝(x≠0)，当x∈[1]时的取值范围恰为(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若向量m＝＝(k＋k＋2＋1)(k－1)解关于x的不等式f(x)m·n.解：(1) 若c≥0则x∈[1]时f(x)0；若c0x)＝在[13]上单调递增所以得故f(x)＝(2) 由题意－＋即x(x－2k)[x－(k＋1)]0.当－1k0时不等式的解集是(－∞)∪(0，k＋1)；当0≤k1时不等式的解集是(－∞)∪(2k，k＋1)；当k＝1时不等式的解集是(－∞)；当k1时不等式的解集是(－∞)∪(k＋1)． 已知函数f(x)＝x－kx＋m(k∈Rm为常数)．(1) 当m＝4时解不等式f(x)0；(2) 若f(x)0对一切正数x恒成立求实数k的取值范围．解：(1) ＝k－16因为k0所以当0k4时不等式解为一切实数；当k＝4时＝0；当k4时或x当0k4时解集为R；当k＝4时解集为(－∞)∪(2，＋∞)；当k4时解集为(－∞)∪(，＋∞)．(2) 因为x0由x－kx＋m0得kx＋当m0时因为x＋，所以k2；当m＝0时因为x＋＝x0所以k≤0.利用不等式解应用题(2013·南通二模)为稳定房价某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1 600万元购得一块土地在该土地上建造10幢楼房的住宅小区每幢楼的楼层数相同且每层建筑面积均为1 000 每平方米的建筑费用与楼层有关第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx＋800)元(其中k为常数)．经测算若每幢楼为5层则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元．(每平方米平均综合费用＝)(1) 求k的值；(2) 问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？解：(1) 如果每幢楼为5层那么所有建筑面积为10×1 000×5 所有建筑费用为[(k＋800)＋2k＋800)＋(3k＋800)＋(4k＋800)＋(5k＋800)]×1 000×10所以1 270＝{16 0