高考数学二轮专题突破课堂讲义 第2讲 函数、图象及性质.docVIP

第2 1. 函数在高考中的题型设置有小题也有大题其中大题有简单的函数应用题、函数与其他知识综合题也有复杂的代数推理题可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点之一．重点：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综合；④函数与数列的综合；⑤函数与向量的综合；⑥难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题常作为高考压轴题． 1. 已知函数f(x)＝则f＝________．答案：－2解析：f＝－＝－1＝(－1)＝－2.函数f(x)＝的定义域为________．答案：(－∞－1)∪(－1) 解析：＜0－1.已知实数m≠0函数f(x)＝若(2－m)＝f(2＋m)则实数m的值为________. 答案：－和8解析：当m0时由f(2－m)＝f(2＋m)得＝；当m0时由f(2－m)＝f(2＋m)得m＝－设函数f(x)＝x－2x(x)＝mx＋2对[－1]，x0∈[－1]，使g(x)＝f(x)，则实数m的取值范围是．答案：解析：x∈[－1]时(x)∈[－1]．m0时[－1]时(x)∈[2－m＋2m]；m＝0时(x)＝2[－1]，f(x)∈[－1]；m＜0[－1]时(x)∈[2＋2m－m]．m≥0时[2－m＋2m][－1]；m＜0[2＋2m2－m][－1]，得0≤m≤或－1≤m0故实数m的取值范围是 题型一 函数解析式及方程区间根问题已f(x)是二次函数不等式f(x)0的解集是(0) ，且f(x)在区间[－1]上的最大值是12.(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在整数m使得方程f(x)＋＝0在区间(m＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在求出m的值；若不存在说明理由．解： (1) ∵ f(x)是二次函数且f(x)＜0的解集是(0), ∴ 可设(x)＝(x－5)(a＞0)．(x)在区间[－1]上的最大值是f(1)＝6a.由已知得6a＝12, ＝2, (x)＝2x(x－5)＝2x－10x(x∈R)．(2) 方程f(x)＋＝0等价于方程2x－10x＋37＝0.设(x)＝2x－10x＋37则h′(x)＝6x－20x＝2x(3x－10)．当x∈时(x)＜0(x)是减函数；当x∈时(x)＞0(x)是增函数．∵ h(3)＝1＞0＝－＜0(4)＝5＞0方程h(x)＝0在区间内分别有唯一实数根而在区间(0)，(4，＋∞)内没有实数根所以存在唯一的自然数m＝3使得方程f(x)＋＝0在区间(m＋1)内有且只有两个不同的实数根． 已知f(x)为定义在R上的奇函数当x0时(x)为二次函数且满足f(2)＝1(x)在(0＋∞)上的两个零点为1和3.(1) 求函数f(x)在R上的解析式；(2) 作出f(x)的图象并根据图象讨论关x的方程(x)－c＝0(c∈R)根的个数． 解：(1) 由题意当x0时设f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)(2)＝1＝－1(x)＝－x＋4x－3.当x0时－x0(x)为R上的奇函数(－x)＝－f(x)(x)＝－f(－x)＝－[－(－x)4(－x)－3]＝＋＋3即x0时(x)＝x＋4x＋3.当x＝0时由f(－x)＝－f(x)得f(0)＝0(x)＝(2) 作出f(x)的图象(如图所示)由f(x)－c＝0得：c＝f(x)在图中作y＝c根据交点讨论方程的根：当c≥3或c≤－3时方程有1个根；当1c3或－3c－1时方程有2个根；当c＝－1或c＝1时方程有3个根；当0c1或－1c0时方程有4个根；当c＝0时方程有5个根. 题型二 函数性质及应用问题已知函数f(x)＝x＋(x≠0常数a∈R)．(1) 讨论函数f(x)的奇偶性并说明理由；(2) 若函数f(x)在x∈[2＋∞)上为增函数求a的取值范围．解： (1) 当a＝0时(x)＝x对任意x∈(－∞)∪(0，＋∞)(－x)＝(－x)＝x＝f(x), (x)为偶函数．当时(x)＝x＋(a≠0)，取x＝±1得f(－1)＋(1)＝2≠0(－1)－f(1)2a≠0，∴ f(－1)≠－f(1)(－1)(1)， ∴ 函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2) (解法1)设2≤x＜x(x1)－f(x)＝x＋－x－＝[x(x1＋x)－a]要使函数f(x)在x∈[2＋∞)上为增函数必须f(x)－f(x2)＜0恒成立．－x＜0＞4即a＜x(x1＋x)恒成立又x＋x＞4, (x1＋x)＞16.∴ a的取值范围是(－∞]．(解法2)当a＝0时(x)＝x显然在[2＋∞)上为增函数．当a＜0时反比例函数在[2＋∞)上为增函数(x)＝x＋在[2＋∞)上为增函数．a＞0时同解法1. (解法3)f′(x)＝2x－对x∈[2＋∞)恒成立．而y＝2x在[2＋∞)上单调递增最小值为16点评：本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题． 已知函数f(x)＝x|x－a|(x∈R)．(1) 判断f(x)的