高考数学一轮复习（知识回扣+热点突破+能力提升）直线的交点坐标与距离公式 理 北师大版.docVIP

第二节　直线的交点坐标与距离公式 1．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 1．两条直线的交点 2．三种距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ 1．两条直线位置关系与其对应方程组的解之间有何关系？ 提示：两条直线相交方程组有唯一解；两条直线平行方程组无解；两条直线重合方程组有无穷多解． 2．使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式；使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等． 1．(教材习题改编)原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(　　) A．1 B. C．2 D. 解析：选D　d＝＝. 2．两条直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋4＝0的交点为(　　) A. B. C. D. 解析：选B　解方程组得 所以两直线的交点为. 3．(2014·烟台模拟)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为(　　) A. B. C．4 D．8 解析：选B　l1的方程可化为6x＋8y－14＝0，又因为l2的方程为6x＋8y＋1＝0， 所以l1与l2的距离d＝＝＝. 4．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为____________． 解析：因为l1与l2：x＋y－1＝0平行，所以可设l1的方程为x＋y＋b＝0. 又因为l1与l2的距离是，所以＝，解得b＝1或b＝－3， 即l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. 答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0 5．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝________. 解析：由得将其代入x＋by＝0，得b＝－. 答案：－ 考点一 两直线的交点问题 　 [例1]　(1)经过直线l1：x＋y＋1＝0与直线l2：x－y＋3＝0的交点P，且与直线l3：2x－y＋2＝0垂直的直线l的方程是____________． (2)(2014·锦州模拟)当0k0.5时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第________象限． [自主解答]　(1)法一：由方程组 解得即点P(－2,1)，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)， l3⊥l，k＝－，直线l的方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋2y＝0. 法二：直线l过直线l1和l2的交点， 可设直线l的方程为x＋y＋1＋λ(x－y＋3)＝0， 即(1＋λ)x＋(1－λ)y＋1＋3λ＝0.l与l3垂直，2(1＋λ)－(1－λ)＝0，解得λ＝－. 直线l的方程为x＋y＝0，即x＋2y＝0. (2)l1与l2的直线方程联立得解方程得 又0k0.5，所以x＝0，y＝0，故l1与l2的交点在第二象限． [答案]　(1)x＋2y＝0　(2)二 若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”，试求l的方程．　　　　　 解得 即点P(2,1).又l∥l3，即k=2,故直线l的方程为y-1=2(x-2), 即2x-y+5=0 【方法规律】 经过两条直线交点的直线方程的设法 经过两相交直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(这个直线系方程中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)或m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0. 已知直线l1：2x＋3y＋8＝0，l2：x－y－1＝0，l3：x＋ky＋k＋＝0，分别求满足下列条件的k的值： (1)l1，l2，l3相交于一点； (2)l1，l2，l3围成三角形． 解：(1)直线l1，l2的方程联立得 解得即直线l1，l2的交点为P(－1，－2)． 又点P在直线l3上，所以－1－2k＋k＋＝0，解得k＝－. (2)由(1)知k≠－.当直线l3与l1，l2均相交时，有 解得k≠且k≠－1，综上可得k≠－，且k≠，且k≠－1. 考点二 对 称 问 题 　 [例2]　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程； (3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． [自主解答]　(1)设A′(x，y)，则由已知得 解得A′. (2)在直线m上任取一点，如M(2,0