高考数学一轮复习 题库大全专题强化训练（二） 文.docVIP

三角函数与平面向量的综合应用 一、选择题 1.(2015·济宁模拟)已知向量a=(1,),b=(cosθ,sinθ),若a∥b,则 tanθ=(　　) A. B. C.- D.- 【解析】选B.因为a∥b, 所以sinθ-cosθ=0, 即sinθ=cosθ.故tanθ=. 2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(2sin B,-), n=(cos2B,2cos2-1),且m∥n,则锐角B的值为　(　　) A. B. C. D. 【解题提示】根据m∥n,转化为B的三角函数值后求解. 【解析】选D.因为m∥n, 所以2sinB(2cos2-1)=-cos2B, 所以sin2B=-cos2B,即tan2B=-. 又因为B为锐角,所以2B∈(0,π). 所以2B=,所以B=. 3.(2015·临沂模拟)若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则a与b一定满足(　　) A.a与b的夹角等于α-β B.a⊥b C.a∥b D.(a+b)⊥(a-b) 【 【解析】选D.因为a·b=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cos(α-β),这表明这两个向量的夹角的余弦值为cos(α-β). 同时,也不能得出a与b的平行和垂直关系. 因为计算得到(a+b)·(a-b)=0, 所以(a+b)⊥(a-b). 故选D. 4.已知a=,b=(cosθ,sinθ),θ∈(0,π),则|a-b|的取值范围 是(　　) A.(0,1) B.(0,1] C.(0,) D.(0,] 【解析】选C.因为a-b=, 所以|a-b|= = ==, 因为θ∈(0,π),所以∈,cos∈(0,1). 故|a-b|∈(0,). 5.(2015·郑州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosC=,·=-2且a+b=5,则c等于(　　) A. B. C.4 D. 【解题提示】由已知cosC=,·=-2,利用数量积公式得到ab=8,再利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC可求c. 【解析】选A.由已知cosC=,·=-2, 得b·a·cos(π-C)=-2?b·a·cosC=2, 所以ab=8, 利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2×8-4=5. 所以c=. 故选A. 二、填空题 6.在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若m∥n,m⊥p,则△ABC的形状是　　　　. 【解题提示】利用向量关系转化为边角关系后,再边化角可解. 【解析】由m∥n可得,b=2ccosA. 由正弦定理可得sinB=2sinCcosA, 即sin(A+C)=2sinCcosA. 从而sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA, 故sinAcosC-cosAsinC=0. 即sin(A-C)=0,又-πA-Cπ, 所以A-C=0,即A=C. 由m⊥p可得c-2bcosA=0, 从而sinC-2sinBcosA=0, 故sin(A+B)-2sinBcosA=0. 即sinAcosB-cosAsinB=0, 即sin(A-B)=0,故A-B=0,A=B. 所以A=B=C. 故三角形为等边三角形. 答案:等边三角形 7.(2015·银川模拟)已知正三角形OAB中,点O为原点,点B的坐标是(-3,4),点A在第一象限,向量m=(-1,0),记向量m与向量的夹角为α,则sinα的值为　　　　. 【解析】设向量与x轴正向的夹角为β,则α+β=π+=,且有sinβ=, cosβ=-,sinα=sin(π-α)=sin=sinβ-cosβ=×-×=. 答案: 8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cosB-sin(A-B)sinB+ cos(A+C)=-,若a=4,b=5,则在方向上的投影为　　　　. 【 【解析】由2cos2cosB-sin(A-B)·sinB+cos(A+C)=-,得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-, 即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-. 则cos(A-B+B)=-, 即cosA=-. 由0Aπ,得sinA=, 由正弦定理,有=, 所以,sinB==. 由题知ab,则AB,故B=, 根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×, 解得c=1或c=-7(舍去). 故向量在方向上的投影为||cosB=. 答案: 三、解答题 9.(2015·晋中模拟)已知向量a=(sin x,),b=(cos