高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第53课 平行关系的性质 文（含解析）.docVIP

第53课 平行关系的性质 1．直线与平面平行的性质 类别 语言表述 图示 字母表示 用性质 如果一条直线和一个平面平行，经过和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 为四面体 的一个截面，若截面为平行四边形， 求证：平面 证明：∵EFGH为平行四边形，∴EF∥HG， ∵HG平面ABD，∴EF∥平面ABD. ∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB. ∴EF∥AB，∴AB∥平面EFGH. 评析：由线线平行线面平行线线平行. 练习：S是空间四边形ABCD的对角线BD上任意一点，E、F分别在AD、CD上，且AE∶AD＝CF∶CD，BE与AS相交于R，BF与SC相交于Q.求证：EF∥RQ. 证明：在ΔADC中，因AE∶AD＝CF∶CD，故EF∥AC， 而AC平面ACS，故EF∥平面ACS. 而RQ＝平面ACS∩平面RQEF， 故EF∥RQ(线面平行性质定理). 2．平面与平面平行的性质 （1） 类别 语言表述 图示 字母表示 用 性质 如果两个平面平行，那么其中的直线必平行于另一个平面 如果两个平行平面同时和，那么它们的交线平行 与正方形所在平面相交于，在、上各有一点、，且.求证：平面 . 练习：如图，分别是的中点求证：平面；设PD的中点为E，连AE, NE，则易得四边形AMNE是平行四边形则 MNAE ， ， 所以 MN平面PAD 已知∥平面，是外一点，过点的直线与分别交于 ，过点P的直线与分别交于 且 ， ， ，则的长为____________．解析：根据题意可出现以下如图两种情况，利用相似三角形，可求出BD的长分别为或24. 答案：24或 B． C． D． 【解析】由三视图判断为等腰直角三角形，的高为则 【解析】选 几何体是半球与圆锥叠加而成，它的体积为 3. 已知某几何体的俯视图是如图1所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形． （1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的侧面积． 3. 如图中四个正方体图形，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④解析：图①中，设PN中点为Q，连MQ，则AB∥MQ，所以AB∥平面MNP，图②，图③中，AB与平面MNP相交，图④中，AB∥NP，所以AB∥平面MNP.故应选B. 答案：B4．如图，四边形为四面体 的一个截面，平面，并且平面，求证：截面为平行四边形 证明：. 5．在三棱柱中，E，F分别是A，BC的中点． 图1-5 求证：C平面ABE；解：证明：取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F，G分别是A，BC，AB的中点，所以FG∥AC，且FG＝，EC＝因为AC∥A，且AC＝A，所以FG∥EC，且FG＝EC，所以四边形FGEC为平行四边形，所以C又因为EG平面ABE，C?平面ABE，所以C平面ABE中，平面//平面，平面，，，∥，且，． （1）求证：//平面； （2）求三棱锥的体积． 【解析】（1）取的中点，连接， ∵，∴， ∵∥，∴∥， ∴四边形是平行四边形，∴， 又∵，∴． ∴四边形是平行四边形，∴∥， 又平面，平面，∴//平面． （2）∵平面， ∴，∴四棱锥的体积为． 6. 如图所示，平面∥平面，点，，点，,点，分别在线段，上，且. （1）求证：; （2）若，分别是，的中点，， ，且，所成的角为60°，求的长. 1 8 图1 6