高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第55课 平面与平面垂直的判定和性质 文（含解析）.docVIP

第55课 平面与平面垂直的判定和性质 1. 二面角的有关概念 ⑴二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角. ⑵二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． ⑶平面角是直角的二面角叫做直二面角．，求二面角的余弦值 练习：若四棱锥的所有棱长均为2，求二面角的大小 2.平面与平面垂直 （1）定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么说这两个平面互相垂直， 记作： （2）平面与平面垂直的判定 类别 语言表述 图示 字母表示 用 判定 一个平面过另一个平面的一条 ，则这两个平面垂直． 用于证明两个平面垂直 性质 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面 ． 用于证明直线与平面垂直 例2. 【例3】（2014六校联考）如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，底面，，，． （1）求证:平面平面； （2）若，求四棱锥的体积． 【解析】（1）证明：∵在中, ，，． ∴， ∴，∴． ∵底面，底面， ∴， 又，∴平面， ∵平面， ∴平面平面． （2）四棱锥的体积， 而三棱锥与三棱锥底面积和高均相等， ∴． 练习：（2013?广州二模节选）如图，在三棱锥中，． 求证：平面平面 证明：因为，所以，．………………1分 因为，所以平面．…………………………………2分 因为平面，所以． ……………………………………3分 因为，所以． …………………………………………4分 因为，所以平面．…………………………………5分 因为平面，所以平面平面．…………………………6分 第55课 平面与平面垂直的判定和性质作业题 1．下列命题：①若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任何一条直线②若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线③若两个平面平行，则一个平面内的任何一条直线一定平行于另一个平面④若两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线一定垂直于另一个平面。其中正确命题的个数为（ ） A．1 B． 2 C．3 D． 4 2. 下列命题：①若两条直线垂直于同一条直线，则这条直线平行②若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行③若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行④若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行。其中正确命题的个数为（ ） A．1 B． 2 C．3 D． 4 3．、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：①若，， 则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中真命题的序号是（ ） A．①④ B． ②③ C．②④ D． ①③ 4. 如图，在三棱柱中，平面， （1）证明：； （2）证明：平面平面． 5. 已知四棱锥 的三视图如图所示，为正三角形垂直底面，俯视图是直角梯形．的体积；（3）求证：平面； 解：（1）过A作，根据三视图可知，E是BC的中点， (1 分) 且， (2 分) 又∵为正三角形，且 ∴ (3 分) ∵平面，平面，∴ (4 分) ∴，即 (5 分) 正视图的面积为 (6 分) （2）由（1）可知，四棱锥的高， (7 分) 底面积为 (8分) ∴四棱锥的体积为 (10 分) （3）证明：∵平面，平面，∴ (11 分) ? ∵在直角三角形ABE中， 在直角三角形ADC中， (12 分) ∴,∴是直角三角形 (13 分) ∴ 又∵，∴平面 6. 如图4，PA垂直于⊙O所在平面ABC，AB为⊙O的直径，PA=AB=2，，C是弧AB的中点. （1）证明：BC(平面PAC； （2）证明：CF(BP； （3）求四棱锥C—AOFP的体积. （1）证明：∵PA(平面ABC，BC(平面ABC， ∴BC(PA