高考数学 题型全归纳 正余弦定理在解决三角形问题中的应用典例分析.docVIP

正余弦定理在解决三角形问题中的应用 典型例题分析： 一、判定三角形的形状 例1 根据下列条件判断三角形ABC的形状： (1)若a2tanB=b2tanA； 解：由已知及正弦定理得 (2RsinA)2 = (2RsinB)2 2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B 2cos(A + B)sin(A – B)=0 ∴ A + B=90o 或 A – B=0 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形. (2)b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC; 解: 由正弦定理得 sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC ∵ sinBsinC≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC, 即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o, 故△ABC是直角三角形. (3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1. 解：(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1 [2sincos+ sin(A + B)] – [2coscos+ 2cos2- 1]=0 [2sincos+ sin(A + B)] – 2coscos - 2sin2=0 (sin- cos)(cos- sin)=0 sin( - )sinsin=0 △ABC是Rt△。 二、三角形中的求角或求边长问题 例2、△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形（如图1）。设∠FEC=α，问sinα为何值时，△DEF的边长最短？并求出最短边的长。 图 1 分析：要求最短边的长，需建立边长关于角α的目标函数。 解：设△DEF的边长为x，显然∠C=90°，∠B=60°，故EC=x·cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，所以∠EDB=α。在△BDE中，由正弦定理得， 所以 ，因为BE+EC=BC，所以， 所以 当，。 注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。 例2 在△ABC中，已知sinB=, cosA=, 试求cosC的值。 解：由cosA=，得sinA=, ∵ sinBsinA, ∴ B中能是锐角 ∴ cosB=, 又 cosC= - cos(A + B)=sinAsinB – cosAcosB=. 例3 (98年高考题)已知△ABC中, a、b、c为角A、B、C的对边，且a + c=2b, A – B=60o, 求sinB的值. 解：由a + c=2b, 得sinA + sinC=2sinB 即 2sincos=2sinB 由 A + B + C=180o 得 sin=cos. 又 A – C= 60o, 得=sinB 所以 =2sincos 又 ∵ 0o90o, cos≠0， 所以 sin=. 从而 cos=. 所以 sinB=. 例4．（2005年湖北卷第18题） 在△ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值. 分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力. 解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE= 在△BDE中利用余弦定理可得： BD2=BE2+ED2－2BE·EDcosBED， 解法2： 以B为坐标原点，轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限. 解法3：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC， 过P作PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB= 例5、(2005年天津卷第17题) 在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值 分析：本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力.. 解法一：由余弦定理， 因此， 在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B. 由已知条件，应用正弦定理 解得从而 解法二：由余弦定理， 因此，，由， 得 所以 ① 由正弦定理. 由①式知故∠B∠A，因此∠B为锐角，于是， 从而 例6、（2005年全国高考数学试（四川理） 中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且 （Ⅰ）求的值 （Ⅱ）设，求的值。 解：（Ⅰ）由得 由及正弦定理得 于是 （Ⅱ）由得，由可得，即 由余弦定理 得 ∴ 例7．（2004年浙江高考数学·理工第17题，文史第