高考数学 题型全归纳 等差数列中“和问题”的一种处理方法.docVIP

等差数列中“和问题”的一种处理方法 　　公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1＋(n－1)d(nN)，若函数f(x)=dx＋(a1－d)(xR)，则有an=f(n)．本文称函数f(x)为等差数列{an}的伴随函数，这样便有下面的定理． 　　 定理 若f(x)为等差数列{an}的伴随函数，且mi(i=1，2，3，…，k)为自然数，则 　　 证：f(x)为等差数列{an}的伴随函数， 　　f(x)=dx＋(a1－d)(xR)， 　　 　　故定理得证． 　　 　　 证 由定理得： 　　 　　利用定理及推论可巧妙解答等差数列中有关的和问题． 　　 例1 在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7=450，则a2＋a8= [ ] 　　 A．45． 　　 B．75． 　　 C．180． 　　 D．300． 　　 例2 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=100，S100=10，求S110． 　　 解 设f(x)为数列{an}的伴随函数，由推论得 　　 　　f(5.5)＝10； 　　 　　 　　 　　由于f(x)为一次函数，故 　　 　　解得 f(55.5)＝－1， 　　从而S110＝110×(－1)＝－110． 　　 　　 解 设等差数列{an}与{bn}的伴随函数分别为f(x)与g(x)，由推论知 　　 　　 　　 例4 设等差数列{an}前n项中奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶． 　　 求证：1)n为偶数2m时，S偶－S奇＝md(d为公差)，S奇S偶＝amam+1； 　　 2)n为奇数2m－1时，S奇－S偶＝am，S奇S偶＝m(m－1)． 　　 解：设f(x)为数列{an}的伴随函数，由定理知， 　　 1)n为偶数2m时有： 　　 　　 　　所以，S偶－S奇＝m(am+1－am)＝md，S奇S偶＝amam+1． 　　 2)当n为奇数2m－1时有： 　　 　　 　　所以，S奇－S偶＝mam－(m－1)am＝am，S奇S偶＝m(m－1)． 　　以上数例表明，本文给出的定理是对等差数列众多性质的浓缩，因而有一定的实用价值． - 3 -