经济数学 CH6 差分方程.pptVIP

* * 如果时间被作为离散变量，即变量t仅取整数值，那么，导数的概念将不再适用。微分方程被差分方程所取代。 差分方程就是同时包含了内生变量现值和滞后值的等式。 * * 一、离散时间、差分与差分方程 在离散情况下，仅当变量t从一个整数变为另外一个整数值时，例如t=1变为t=2时，y的值才会变化。 现在的变化模式用差商△y/△t来表示。它是导数dy/dt在离散时间下的对应物。 由于时间变量t仅取整数值，因此在分析相邻两个连续时期的y的变化时， △t=1，差商△y/△t可以简化为△y，称为y的一阶差分。 一阶差分： △yt=yt+1-yt 二阶差分： △2yt= △ (△ yt) = △(yt+1-yt)= (yt+2-yt+1)- (yt+1-yt) * * 一阶差分方程：yt+1=f(yt) 例子：一阶线性差分方程 △yt=2→yt+1-yt=2 △yt=yt → yt+1-yt=yt →yt+1=2yt 一阶线性差分方程一般形式： yt+1+ayt=x(t) 如果x(t)=0，方程是齐次方程：如果数列｛yt｝满足方程，则数列｛kyt｝也满足方程。 m阶差分方程： yt+m=f(yt+m-1, yt+m-2,…，yt) * * 二、一阶差分方程的解法 解法： 1、作图。 2、解析解。 * * 1、图解法 一阶差分方程：yt+1=f(yt) 第一步：计算稳态值或均衡值。 当yt+1=yt=y*，即y*=f(y*)时，离散动态系统达到均衡， y*是系统的均衡值。 第二步：以yt+1为纵轴，以yt为横轴，判断均衡是否是稳定的。 * * 例1：yt+1-0.5yt=1 写成：yt+1=0.5yt+1 令yt+1=yt=y*，带入原方程，可以得到均衡值：y*=2。 例2：yt+1-2yt=-1 yt yt+1 yt+1=0.5yt+1 2 2 y0 y1 y1 y2 稳定的稳态 变化过程： 给定一个初始值y0，运动开始。在第1期得到y1，通过45°线可以在横轴上得到y1。由此可以得到第2时期的y2。 * * 例3：一阶非线性差分方程 yt+1=2yt-yt2 首先计算均衡点： y=2y-y2 y*=0,y*=1。 令yt+1=0,可以得到在横轴上的截距：0和2。 yt yt+1 0 2 1 1 系统在y*=0点是不稳定的；在y*=1点是稳定的。 y0 y1 y1 y2 * * 稳定性总结 一阶差分方程：yt+1=f(yt) 均衡值为y*。 * * 练习：蛛网模型 在时间t的需求qtd取决于当前市场价格pt，供给qts取决于上期的价格pt-1。当需求等于供给时，市场出清。 判断供求均衡是否稳定。 供求模型： qtd=a-bpt qts=-c+dpt-1 qtd= qts a,b,c,d0 q p p0 q1 p1 q2 p2 S斜率=1/d D斜率=-1/b 结论： 当供给曲线的斜率大于需求曲线的斜率，即db时，模型是收敛的。反之则是发散的。当二者相等时，模型是循环的。 * * 蛛网模型 将需求曲线和供给曲线代入到均衡方程，得到： pt=(a+c)/b-(d/b)pt-1 这是一个一阶非齐次线性差分方程。 当价格不变时，供求达到均衡。 p*=(a+c)/b-(d/b)p* 均衡价格p*=(a+c)/(b+d) Pt-1 pt p* 当(d/b)1时，模型是发散的；反之则是收敛的。 * * 2、解析法 迭代法 例1：yt+1=yt+2，已知y0=10。 求解： y1=y0+2 y2=y1+2=y0+2+2=y0+2·2 y3=y2+2=y0+2·2+2=y0+3·2 …… yt=y0+t·2=10+2t 例2：yt+1-byt=0 求解： yt+1=byt y1=by0 y2=by1=b·by0=b2y0 …… yt=bty0 b的绝对值小于1，y收敛。 * * 一般方法 1、常系数和常数项的一阶线性差分方程： yt+1+ayt=c 其中，a和c是两个常数。 方程的通解由两部分的和构成：特别积分yp（它是方程的一个任意解），余函数yc（它是齐次方程yt+1+ayt=0的通解）。 解的含义：特别积分表示系统的瞬时均衡值，余函数表示时间路径与均衡的偏离。 余函数的计算： 假设变量的解为：yt=Abt 代入齐次方程得到：Abt+1+aAbt=0 消去非零公因子Abt，得到b=-a 因此，余函数为：yc=A(-a)t * * 特别积分的计算： 特别积分是原方程的任意解，假设为常数k。则yt+1=yt=k，即k为系统的瞬时均衡值。 将k代入原方程，得到:k+ak=c 特别积分为：yp=k=c/(1+a)，a≠-1。 如果a=-1，那么就假设yt=kt，yt+1=k(t+1)。 代入原方程得到：k=c。 特别积分为：yp=kt