数学归纳法在中学解题中的应用.docVIP

数学归纳法在中学阶段的应用之典型例题 陈璐 林惠芳 【摘要】数学归纳法是数学证明的一种重要工具，它常常用来证明与自然数有关的命题。它基于自然数的一个重要性质：任意一个自然数的集合，如果包含数1，并且假设包含数k，也一定包含k的后继数k+1，那么这个集合包含所有的自然数。 【关键词】 数学归纳法、应用、典型例题 数学归纳法主要是运用于证明关于正整数n的命题p(n)的一种方法，其一般步骤是： （i）设P(n)是关于自然数n的命题，证明P(n)当n=1(或n=)时成立； （ii）假设P(k)()成立，证明P(k+1)成立。那么P(n)对任意自然数n都成立。 一般来说，在中学阶段，对于一些可以递推的与自然数有关的命题都可以用数学归纳法来解决。下面我们就针对与自然数有关的恒等式、不等式的证明、数列问题、某些几何问题、数的整除问题。 一、数学归纳法在与自然数n有关的恒等式证明中的应用 应用数学归纳法证明恒等式，证明过程中只要实现等式左右两边相等即可。下面举例说明。 【例1】 用数学归纳法证明： . 分析：本题的关键是确定等式左边的项数。由于等式左边是连续正整数的和，所以等式左边有项；由 的过程中，等式左边的目标式为（当n=k+1时），增加了2项。 证明： (1)当n=1时，左边=1==右边，等式成立。 (2)假设n=k时，等式成立，即． 那么，当n=k+1时，有 = = = = = 即当n=k+1时，等式也成立。 故对于任意正整数n，等式都成立。 点评：对于初学者而言，应当注意以下两点：其一，当n由k到k+l时，等式左边增加了2项，即增加了3k一l，3k，3k+l，而减少了l项k；其二，为了在证明中使用归纳假设，过程中采用了“+k-k”的办法。 【例2】 设，用数学归纳法证明： 证明： (1)当n=1时，左边===右边，等式成立。 （2)假设n=k时，等式成立，即 那么当n=k+1时， 这就是说，当n=k+1时等式也成立。 根据（1）、（2）可知，等式对任何都成立。 二、数学归纳法在不等式证明中的应用 用数学归纳法证明不等式分为严格不等式和非严格不等式两种。严格不等式的证明，只要保证原不等式中的“”或“”成立即可。对于非严格不等式而言，情况略显复杂。在证明过程的第一步验证中，对于“≥”或“≤”的处理，存在两种不同看法，一种观点认为：在第一步中，既要验证“A=B”成立，也要说明AB(AB)成立。只有如此，才能更充分地肯定非严格不等式A≥B(A≤B)成立。另一种观点认为：在第一步中，只要A=B或AB(AB)有一个成立，即可说明非严格不等式A≥B(A≤B)成立。从逻辑联结词的角度，我倾向于后者。事实上，用数学归纳法证明非严格不等式时，A=B是A≥B或A≤B的基础。 【例3】 用数学归纳法证明：。 证明： (1)当n=1时，左边=1==右边，左边≥右边，不等式成立。 (2)假设时，不等式成立，那么，当n=k+l时， 要证， 只要证。 ∴成立， 即成立。 所以当n=k+1时命题成立。 根据(1)、(2)可知，不等式对任何都成立。 【例4】 用数学归纳法证明：。 证明： (1)当n=4时，左边=16=右边，左边≥右边，不等式成立。 (2)假设时，不等式成立，那么，当n=k+l时，有 ，即， ∴，∴当n=k+l时，不等式也成立。 由(1)、(2)可得，对任意正整数n（n≥4)，原不等式都成立。 点评：这个证明和上一个题目的证明实质一样，都是在第一步的基础上，有归纳 假设p(k)成立，通过逻辑推理得到p(k+1)成立，从而达到递推的目的。由于 等号成立与正整数n有关，所以在证明的第二步，由假设n=k(k≥4)命题成立，推 出n=k+l时，左边右边，故有左边≥右边，命题也成立。 三、数学归纳法在解数列问题中的应用 在中学阶段我们还会碰到求等差或等比数列前n项和的题目，而数学归纳法用在这里的话就会得到事半功倍的效果。 【例5】 用数学归纳法证明：。 证明： (1)当n=1时，左边=1=右边，等式成立。 (2)假设当n=k时等式成立，即， 那么， 这就是说，当n=k+1时等式也成立。 根据(1)、(2)可知，等式对任何都成立。 【例6】 已知数列 中，,求证：数列 的第4t+1项能被3整除。 证明： (1)当t=1时，因为，得，能被3整除。 (2)假设t=