奇异杂交边界点法理论的研究及其应用.pdf

摘 要 无网格法是近二十年才发展起来的数值方法，它只需要节点信息以及对内外边 界条件的描述，而网格则可以部分或完全消除。因此，该方法在裂纹扩展模拟、材 料弹塑性分析以及三维问题的计算具有广阔的前景。本文综述了无网格数值方法的 基本原理；重点介绍了无网格Galerkin 法、无网格边界局部积分方程法、边界点法 和杂交边界点法；探讨了基函数的选取对无网格Galerkin 法计算精度的影响。在此 基础上提出了一种新的边界类型的无网格方法—奇异杂交边界点法，并成功地将其 实现并应用于二维弹性力学问题和三维弹性力学的求解。本文主要完成了以下几个 方面的工作： 首先，探讨了无网格法中形函数的性态及对计算结果的影响，讨论了无网格法 产生误差的原因。主要分析了无网格伽辽金法节点不良分布以及采用一般高次多项 式基构造形函数时，致使形函数中矩阵A 病态，从而导致全局数值解振荡的原因。 就不同的基函数对插值函数及无网格法的计算精度的影响作了分析比较，得出了基 函数的选取标准，并用算例说明了这些结论的正确性。 其次，提出了在工程计算中的高次正交多项式基来拟合应力高梯度问题，并以 罚函数法引入强加边界条件。该方法保留了无网格Galerkin 法所拥有的优点，去除 了其中的一些缺陷，使得用高次正交基逼近时计算精度较高，因此适合工程计算中 诸多计算问题。通过算例及误差分析证实了这种方法的优势。 第三，提出了一种新的边界类型的无网格方法—奇异杂交边界点方法。该方法 结合修正变分原理和移动最小二乘近似，同时利用无网格局部边界积分方程中的局 部化思想，是一种真正的无网格方法— 既不需要插值网格，也不需要积分网格，所 有的积分都是在简单规则的子域内完成的，计算时仅仅需要边界上离散点的信息。 第四，将奇异杂交边界点方法用于二维和三维弹性力学问题中，建立了这两类 问题的奇异杂交边界点法，并编制了相应的程序。数值算例表明了该方法的可行性 和优良性能。 第五，通过计算弹性力学经典算例以及对照解析解，对影响奇异杂交边界点方 I 法的参数选择进行了深入的研究，提出了参数的选取方案。 第六，提出并实现了刚体位移法在奇异杂交边界点方法中的应用，从而避免了 直接求解强奇异积分。该方法将源点直接布在边界上，避免了不确定的参数，使得 该方法能方便直接地应用到实际工程的计算中。 第七，提出了一种自适应的积分方案，成功地解决了由于将源点布在边界上而 带来的“边界层效应” 。数值试验证明，该方法是一种有效的办法，即使在求解距离 边界很近的点时，能够得到非常精确的结果。 数值算例表明，奇异杂交边界点方法不仅计算精度高，而且收敛性好，在边界 上增加或减少节点非常容易，适宜于自适应问题、裂纹问题及接触问题。 关键词： 无网格法 正交基函数 误差分析 修正变分原理 移动最小二乘 奇异杂交边界点法 刚体位移法 II Abstract Meshless method is a new numerical method developed in the past decades. It requires only nodes and a description of the external and internal boundary conditions, and no element connectivity is needed totally or partly. Therefore, meshless method can be widely applied to crack propagation problems, elasto-plastic analysis of materials and three-dimensional problems. The recent development of the meshless methods is briefly reviewed in the thesis. S