求解三角函数最值问题常见的八种策略.docVIP

求解三角函数最值问题常见的八种策略 例1 若，那么函数的最小值是 A. B. C. D. 解 将原函数配方得.由于.当时，.选D. 小结 配方法是一种对数学式子进行定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方. 化为一个角的三角函数策略 例2 已知函数. (1)求的最小正周期. (2)求在区间上的最大值和最小值. 解 (1)∵，∴函数的最小正周期为. (2)由，∴. ∴在区间上的最大值为1，最小值为. 小结 将复杂的三角函数式化为“统一”的形式：，，从而探求其周期性、单调性以及最值等性质，这是近几年高考对三角函数考查的重要形式.尽管转化的途径不同，有的用向量运算来转化，有的用三角恒等变形来转化，有的则在三角形中进行转化，但实质上都是考查模型和的应用. 利用换元法策略 例3 求函数的最值. 解 令，则.由于，故，. 小结 换元转化、整体代换的方法可以将三角函数问题转化为代数函数(如二次函数等)问题，也可以利用三角函数通过三角换元转化为三角函数求最值. 利用有界性策略 例4 求函数的最值. 解 将原函数变形为. 由.将上述式子两边平方，整理得. 故. 小结 (1)求函数的值域要重视运用三角函数的有界性()与单调性，并结合函数的图像进行分析；(2)不仅应该重视直接运用有界性探求三角函数式的取值范围，而且要善于运用反控的方法，运用函数的有界性构造关于的不等式(组)，以探求函数的值域. 利用数形结合策略 例5 求函数的最值. 解 将原函数变形为.上式可看作点的连线的斜率，而点A是单位圆上的动点.由右图可知，过点作圆的切线时，斜率有最值.由几何性质有. 小结 通过图像进行直观化研究，结果一目了然. 利用基本不等式策略 例6 若x∈(0，)，则2tanx+tan(-x)的最小值为 . 解 由，可知所以当且仅当时取等号，即最小值为. 小结 由基本不等式求最值可分为三步：第一步，检查字母是否全正(即所求平均值的各个量都是正数).第二步，凑定值，当凑出的和为定值时，其对应各个量的积有最大值；当凑出的积为定值时，其对应各个量的和有最小值.第三步，取等号，即只有当对应各个量取得等号时，才有最值存在，否则，没有最值存在.以上三步可简化为“一正”“二定”“三相等”，三者缺一不可. 利用单调性策略 例7 求函数在的最值. 解 原函数可化为，此函数在上递增，在上递减，所以. 小结 将复杂函数的单调性问题转化为两个简单函数的单调性问题，从而运用复合函数的单调性的法则加以解决，这种分解转化策略在数学解题中是非常重要的.事实上，这是一种建立“中途点”的处理策略，即要实现从A到B的目标，可以将整体任务分解为一个个的“小”任务，也就是在起点与终点之间建立“接应站“，从而减小跨度，降低难度. 利用图像的性质策略 例8 求函数的最大值和最小值. 解 原函数可化为 设 ，. ， 小结 研究表达式较为复杂的三角函数的值域(最值)时，我们通常先对表达式进行化简，这种先简化问题，再在最简形态下进行研究的策略，在数学解题中有着广泛的应用.解答本题关键根据图像抓住动对称轴与定区间的关系.本题通过二次函数的图像确定解题思路，直观、清晰，体现了数形结合的优越性.同学们要特别注意，在求二次函数在闭区间上的最值时，首先要确定二次函数在闭区间上的增减情况，再确定在何处取得最值. 京翰教育高中数学辅导网 京翰教育网 /