数学归纳法(三).pptVIP

* * 归纳—猜想—证明 一、引入与回顾： 完全归纳法得出的结论是可靠的,通常在特殊事例个数不多时用;不完全归纳法得到的命题并不可靠,这种方法并不能作为一种论证的方法,但它是发现数学规律的一种重要手段;用数学归纳法得出的结论是可靠的. 归纳法可分为两类:一是不完全归纳法;二是完全归纳法. 因此常用不完全归纳法去发现“规律”,即提出猜想, 再用数学归纳法去判断所发现的“规律”是真是假.不完全归纳法与数学归纳法经常结合使用. 所谓的“归纳—猜想—证明”正是这中思想方法的充分体现. 二、“归纳—猜想—证明”的基本思路 例1:是否存在正整数m,使得f(n)=9+(2n+7)3n对任何正 整数n都能被m整除?若存在,求出最大的m的值;若 不存在,请说明理由. 解:因为f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360,……,猜想f(n)能被 36整除. 下面用数学归纳法证明猜想成立. (1)当n=1,2时,由上知,命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,即f(k)能被36整除. 则当n=k+1时,因为f(k+1)-f(k)=[2(k+1)+7]3k+1- (2k+7)3k=[(2k+9)?3-(2k+7)]3k=4(k+5)?3k.当k ≥2时能被36整除. 又f(k)能被36整除,所以f(k+1)能被36整除.即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)知,命题(猜想)成立.从而f(n)能被36整除. 又因为f(1)=36,故m≤36.因此m的最大值为36. 说明: 1.归纳、猜测、证明是发现和研究数学问题的重要思想方法. 2.归纳、猜测、证明的基本思路是:首先从所给的 条件出发,观察、试验正整数的前几个值时的结论,发 现、归纳其中的规律,并猜想、总结出结论,然后证明猜想的结论的正确性.对于关于正整数的命题,一般可以用数学归纳法加以证明. 例2:试比较(n+1)2与3n(其中n为正整数)的大小.并证明 你的结论. 解:当n=1时,(1+1)231; 当n=2时,(2+1)2=32; 当n=3时,(3+1)233; 当n=4时,(4+1)234; 由此猜想,当n≥3时,(n+1)23n. 现用数学归纳法证明如下: (1)当n=3时,由上知不等式成立. (2)假设当n=k(k≥3)时不等式成立,即(k+1)23k. 则当n=k+1时,3k+1=3?3k3(k+1)2. 因为3(k+1)2-(k+2)2=2k2+2k-1≥2?9+2?3-1=23 0(k≥3),所以3k+1(k+2)2. 故当n=k+1时,不等式也成立. 根据(1)、(2)可知,不等式对一切大于或等于3的正整数都成立. 综上所述,当n=1时,(n+1)23n; 当n=2时,(n+1)2=3n; 当n≥3时,(n+1)23n. 说明:由于得出的结论可能具有多样性,也即得出的结论需要分类讨论的,因此,在取正整数的前几个值时不妨多取几个值,以便防止有所遗漏,从而能归纳出正确的结论. 引申:如果改为比较3n与(n+1)!的大小,则结论是什么? 当n=1,2,3时,3n(n+1)!; 当n≥4时,3n(n+1)!. 例3:已知数列{an},Sn是其前n项的和,对不小于2的正整 数满足关系1-Sn=an-1-an. (a)求a1、a2、a3的值; (b)证明: {an}是等比数列. 解:(a) 同理可得: (b)猜想: 现用数学归纳法证明如下: (1)当n=1时,由上知命题成立. (2)假设当n=k时命题成立,即 由(*)式和假设 得 , 故当n=k+1时,命题也成立. 根据(1)、(2)可知,对一切 成立. 此时 成立,所以{an}是等比数列. 练习4:已知三个不等式: 由此能得到的一般不等式是:____________________. 练习1:数列{an}满足: 通过计算a1,a2,a3猜想an的表达式是_________. 练习2:数列{an}中,a1=1,且Sn,Sn+1,2S1是等差数列,则S2, S3,S4分别为_________,猜想Sn=___________. 练习3:设 ,则使得等式: = q(n)(an-1)对于大