2.3数学归纳法(第二课时).pptVIP

第二课时 1、什么是数学归纳法？ 一、温故知新 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 2、数学归纳法适用于证明与自然数有关的命题． (1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时，命题成立； (2)假设n＝k(k∈N*且k≥n0)时命题成立， 证明n＝k＋1时命题也成立(应用假设证明)； (3)结论：由(1)(2)，对于命题从n0开始的 所有自然数n都成立． C 例1.已知数列 计 算 ,根据计算的结果,猜想 的表达式,并用数学归纳法进行证明. 解： 下面我们用数学归纳法证明这个猜想。 猜想成立。 （2）假设当n=k 时猜想成立，即 那么， 根据(1)和（2）,可知猜想对任何 都成立。 (一)利用数学归纳法证明恒等式 (二)利用数学归纳法证明整除问题 题型三　利用数学归纳法证明不等式问题 小结　(1)由归纳、猜想得到的结论未必正确，其正确性需要进一步证明．归纳只是提供了解题的思维方向，不具有科学性，数学归纳法是科学的． (2)数列是定义在N*上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，数列中有关通项公式，项或前n项和的大小比较等问题都可考虑运用数学归纳法解决． 跟踪训练　已知数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2. ∴Sn＝－(n≥2)． 则有：S1＝a1＝－，S2＝－＝－， S3＝－＝－，S4＝－＝－， 由此猜想：Sn＝－(n∈N*)． 以下用数学归纳法证明： ①当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立． ②假设n＝k(k∈N*)猜想成立，即Sk＝－成立， 那么n＝k＋1时，Sk＋1＝－＝－ ＝－＝－. 即n＝k＋1时猜想成立． 由①②可知，对任意自然数n，猜想结论均成立. 题型二　利用数学归纳法证明几何问题 例2　证明：凸n边形的对角线的条数为f(n)＝n(n－3)(n≥4，n∈N*)． 证明　(1)当n＝4时，四边形有两条对角线，f(4)＝×4×(4－)＝2，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥4，k∈N*)时命题成立，即f(k)＝k(k－3)，那么，当n＝k＋1时，增加一个顶点，凸多边形的对角线增加k－1条，则f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2)＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]， 即当n＝k＋1时命题也成立． 根据(1)(2)，可知命题对任意的n≥4，n∈N*都成立． 小结　用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k＋1时，所证的几何量增加多少．同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k＋1之间的递推关系． 跟踪训练2　有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分． 证明　(1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立； (2)假设n＝k(k∈N*)时，被分成f(k)＝k2－k＋2部分； 那么当n＝k＋1时，依题意， 第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域． ∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2， 即n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立． 1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等． 2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0. 3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.