导数常考题型总结.docVIP

变化率与导数、导数的运算 考纲要求 1.导数概念及其几何意义 (1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵． (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 2．导数的运算 (1)能根据导数的定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ 的导数． (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数〔仅限于形如f(ax＋b)〕的导数． (3)会使用导数公式表． 1．平均变化率 函数f(x)从x1到x2的平均变化率＝. 2．导数的概念 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0即f′(x0)＝ . 3．导数的几何意义 函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k，即k＝ ＝f′(x0)． 4．导函数(导数) 当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝ . 5．几种常见函数的导数 (1)c′＝0(c为常数)，(xn)′＝nxn－1(n∈Z) (2)(sinx)′＝cosx，(cosx)′＝－sinx (3)(lnx)′＝，(logax)′＝logae (4)(ex)′＝ex，(ax)′＝axlna 6．函数的和、差、积、商的导数 (u±v)′＝u′±v′，(uv)′＝u′v＋uv′ ′＝，(cu)′＝cu′(c为常数)． 1．f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于(　　) A.　B. C. D. 解析：f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，a＝. 2．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为(　　) A．k1k2 B．k1k2C．k1＝k2 D．不确定 解析：∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx， k1＝cos0＝1，k2＝cos＝0，∴k1k2. 3y＝xcosx－sinx的导数为(　　) A．xsinx B．－xsinx C．xcosx D．－xcosx 解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx. 答案：B 5．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，?-，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2008(x)＝__________. 解析：f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx ∴fn(x)是以4为周期的周期函数，2008被4整除，∴f2008(x)＝f0(x)＝sinx 答案：sinx 　热点之一　　利用导数的定义求函数的导数 根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法： (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率＝； (3)得导数f′(x0)＝ .简记作：一差、二比、三极限． [例1]　用定义法求下列函数的导数． (1)y＝x2；(2)y＝. [课堂记录]　(1)因为＝ ＝＝＝2x＋Δx， 所以y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x. (2)Δy＝－＝－， ＝－4·， ∴ ＝ ＝－. 即时训练　　用导数的定义求函数y＝在x＝1处的导数． 解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－1 ＝＝ ＝， ∴＝－. ∴f′(1)＝ ＝－. 求函数的导数要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数，在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，联系基本初等函数求导公式进行求导；对于不具备直接求导的结构形式要适当变形． [例2]　求下列函数的导数： (1)y＝x2sinx；(2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝；(4)y＝sin32x. [课堂记录]　直接利用导数公式和导数运算法则求导． (1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx； (2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2 ＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2； (3)y′＝ ＝＝； (4)y′＝3(sin2x)2·(sin2x)′＝6sin22xcos2x. 即时训练　　求下列函数的导数： (1)y＝xsinx；(2)y＝； (3)y＝；(4)y＝e1－x. 解：(1)y′＝(xsinx)′＝