平面曲线系方程在求解一般位置圆方程中的应用（原稿）.docVIP

平面曲线系方程在求解一般位置圆方程中的应用 王永洪 北京市海淀区北京理工大学机电学院，100081 过平面曲线,的交点的曲线系方程可表示为，其中的函数形式需要根据待求的曲线方程类型和,的形式联合确定.曲线系方程的上述表示法的本质是集合中的并集概念，通过待定求解表达式中参数的问题是代数问题，因此，这种求解曲线系方程的方法属于解析法的范畴。用曲线系方程求解曲线方程的问题多见于二次曲线问题，二次曲线中最特殊的是圆，而对于三类圆锥曲线，这种求曲线的方法很少采用.以下将说明在二次曲线问题中应具有的形式。 平面二次曲线方程的一般形式是，确定椭圆方程和双曲线方程需要5个独立参数，抛物方程需要4个，圆方程需要3个。为了统一论述，我们将曲线方程所固有的关系式也视为独立方程，则曲线系方程需要有5个独立方程求解这些系数，而交点坐标最多能提供两个方程，其他的3个方程直接反映在曲线系方程的形式上，以给定的二次曲线方程和直线方程为例，这时的曲线系方程为：，这个方程经过整理后即是二次曲线的一般式，求解方程中的三个参数即可得到曲线方程，最后还要补充一个不等式来确定曲线类型，即判断的符号：，曲线为椭圆或圆，，曲线为抛物线，，曲线为双曲线。有关如何通过圆锥曲线方程确定其对称中心，对称轴方程，焦点坐标，准线方程的系列理论可参考相关平面解析几何教材，这里不再赘述。下面说明如何求解过圆锥曲线与直线交点的圆系的方程。 确定平面上一个圆方程需要有3个独立参数，即需要提供3个关于参数的独立方程，而交点坐标能提供两个方程，如上所述，圆系方程表示为，其中为直线方程。尽管根据圆方程中系数的固有的关系提供了两个方程，再根据其他条件补充一个系数方程则圆的方程即可确定，但求解关于系数的3元一次方程组，还是有很多的不便之处。针对上述问题，下文将介绍一种做法：先解出以与交点连线作为直径的圆的方程，则过交点的圆系方程即可表示为，其中为待定参数，这种解法显然避免了解多元联立方程的过程，只要解出，圆方程即可确定。 例1：设曲线，过点作直线交曲线于两点，过作曲线的两条切线，两条切线交于一点. (Ⅰ)求证：为双曲线. (Ⅱ)若过和的圆与N的轨迹直线相切，求直线的斜率. （Ⅰ）证法一： 作正交坐标变换：，得在新的坐标基下的标准的双曲线方程：．这说明对于线性变换，曲线的类型是不会改变的． 证法二： 由于 ，． 即和是曲线的两条渐进线． 由曲线的两条渐近线位置可以进一步确定曲线的两条对称轴，焦点和准线，然后利用双曲线的第二定义验证． (Ⅱ)解：取正交坐标变换：，逆变换. 曲线方程在新坐标系中为 ． 为便于表示，以下取为坐标系后用表示，并且相应坐标也随之取为新坐标系的坐标． ，设过直线方程是 ，，． 表示的坐标为 ，． 因为，则，所以点轨迹是一条直线． 联立方程： ，消去变量得： ． ，. ． 以为直径的圆方程形式是： ． 过的圆的方程可表示成待定参数的形式： . 将代入圆系方程得 ． 因此，圆心坐标为.该圆与相切，则圆心到切线的距离等于圆的半径，即 ， 或 ． 解得 . 在原坐标系中，直线的斜率是，将以上结果代入可得最后结果． 例2：过点作直线交于两点，在抛物线的准线上一点使最大，已知点的纵坐标是，求直线的斜率. 解：首先确定当点在什么位置时，最大，的外接圆显然与抛物线的准线是有交点的，一般交点为两个，当相切时有一个，而是一个圆周角，其对应的圆心角是圆周角的两倍，时，圆心角也最大，而的长为定值，于是圆心到直线距离最小时圆心角最小，此时也是外接圆与准线相切的位置，按照这样的分析可知，当的外接圆与准线相切时，最大. 设直线方程为，，.显然. 联立方程，得 . ，. ，. 以为直径的圆的方程为，将上述关系代入整理得 . 于是过，两点的圆系方程表示为 ， 即 . 由于点在圆上，于是且准线和圆相切于点，则满足圆方程，且圆心与点的纵坐标相等，即有下列方程： 由以上方程解得 ，. 直线斜率 . 例3：直线和过的直线与椭圆交于四个点，已知该四点共圆，求该圆的半径. 解：设过点的直线斜率为.记直线和过的直线与椭圆的交点分别为，，，. 联立方程，得 . 以为直径的圆方程为，整理之后得：. 过，的圆系方程可表示为 . 将此方程与直线方程联立，消去参数得 . （3-1） 另外，联立方程，得 . (3-2). 由于（3-1）（3-2）两式具有相同的解，即过的直线与椭圆的交点在过，的圆上，于是有下列方程： 解之得 ，. 于是圆的方