一种适用于强非线性结构力学问题数值求解的修正小波伽辽金方法.pdfVIP

第22卷第3期 固体力学学报 V01．32No．3 0FSOLID CHINESEJOURNAL MECHANICS2011 2011年6月 June 一种适用于强非线性结构力学问题数值 求解的修正小波伽辽金方法。 刘小靖 王记增 周又和“ (兰州大学土木工程与力学学院力学与工程科学系。西部灾害与环境力学教育部重点实验室。兰州，730000) 摘 要论文通过对有限区间上的任一连续函数在边界处采用基于泰勒展开的延拓处理，构造了一种与任意 边界条件相协调的改进小波尺度基函数及在此基础上建立了小波逼近格式，由此可有效避免小波逼近在求解微分 方程时在边界处的跳跃或抖动问题．在此基础上，结合论文后两位作者提出的广义小波高斯积分法。关于未知函数 的任意非线性项的小波展开可以显式地用原未知函数的展开系数表征，据此建立了一种可适用于求解任意强非线 性的梁弯曲问题的小波伽辽金方法．该方法具有解的封闭性与计算简单等特点．通过定量求解包含幂次非线性与 非幂次非线性项梁的两例大挠度弯曲问题，所得结果表明论文所建立的方法具有良好的数值精度． 关键词强非线性。弹性梁，弯曲问题，小波伽辽金方法，数值求解 的一种新的数学理论与数值工具[1。53已被广泛应用 O 引言 于信号分析[6]，结构力学计算[7’8]，等离子体物理[9】， 化学工程口o]和微分方程数值求解[1卜”]等众多领域． 有限单元法是工程问题数值求解中较为常用的 而正交小波级数展开的层层嵌套空间逼近特性及紧 方法之一．该方法从控制方程的等效积分形式出发， 支集与光滑性的可选择性使得以小波函数或尺度函 通过选取试函数并确定试函数中的待定系数进而得 数为试函数的小波伽辽金方法也被提出用于求解微 到问题的近似解．通常的有限元方法是基于变分原 理由能量泛函驻值条件得到相关基本方程，而作为 尝试利用Daubechies正交小波尺度函数为试函数 其特殊形式的加权残值法则是直接从控制方程出发 求解了简单的一维二阶偏微分方程边值问题．但正 而不需要引入能量泛函．对于能量泛函未知或根本 像Xu与Shann【15]指出的，直接以小波函数或尺度 不存在的问题，只能通过加权残值法推导得出有限 函数为试函数的小波伽辽金方法能够得以进一步推 元的基本方程．伽辽金方法作为加权残值法的一种 广应用的两个难点是：如何实现小波函数或尺度函 特殊形式，其特点是要求试函数自身在形式上满足 数与其导数乘积的积分(连接系数)的精确计算；以 待求方程的边界条件，且在进行加权积分时权函数 及如何对定义在有限区域上的微分方程的边界条件 与试函数相同．然而在非线性问题的求解中，这两类 进行处理以避免由于级数截断而引起边界区域的抖 方法都未能解决解展开的封闭性问题．即在非线性 动误差．在板壳结构弯曲问题的求解中，由于所涉及 问题求解中，依照有限截取的前N项展开的解依赖 到的控制方程多为四阶以上偏微分方程，故在应用 于截断后面舍去的余量．这一问题一直是非线性求 小波伽辽金方法计算时，不可避免的会遇到尺度函 解中遇到的基础性理论问题．虽然在弱非线性时现 数高阶导数与相应连接系数的高精度计算等难题． 有方法表现出一定程度的有效性，但在向强非线性 直到周又和等人[I¨8]提出了针对具有紧支集正交 推广时均面临解法的有效性问题． 小波尺度函数的高阶