巧用函数之力 追溯不等式之本质——例谈函数构造的几个策略.pdfVIP

· 20 · 中学教研 (数学) 2015g- 巧 用 函数 之 力 追 溯 不 等 式 之本 质 — — 例谈函数构造的几个策略 ●廖爱国 (云和中学 浙江云和 323600) 函数可以说是整个高中数学知识体系的一个 见的含参数恒成立问题，也是近几年数学高考和模 灵魂，它就像一根红线贯穿整个高中数学．函数与 拟卷中的常见题型，求解策略是变量分离法和作差 方程、不等式问题紧密联系，可以相互转化．函数与 法构造函数． 方程思想是新课标要求的一种重要数学思想方法， 解法 1 变量分离法构造函数． 而函数构造是运用数学的基本思想方法，通过理解 由题意知， +4 +2≤2 ·e(+1)对任意 题意，深人分析问题的本质，构造出恰当的数学模 ≥一2恒成立，可分为3类 ： 型，利用函数的性质解决问题．函数构造的形成过 ① 当PC一l时，2≥ ，构造函数 程充分体现了对学生数学创造性思维能力的培养． 纵观近几年各地数学高考试题，在函数压轴题中对 hp(c)=篆e等【十lJ， 构造新函数方法有较多考查．对此类 问题，如何根 据题 目特点构造出恰当的函数来解决问题是解题 贝0 ^()=一e：l十lJ． 难点，笔者结合高考试题和平时教学体会，探寻函 数构造策略，以期抛砖引玉． 因此，当 ∈(一1，0)时，h()0，h(x)单调递增； 1 直接构造法 当 ∈(0，+∞)时，h()0，h()单调递减，于是 构造函数最常用的方法就是作差法构造函数 2k~h() =h(O)=2， 与变量分离法构造函数，它能解决函数中很多与方 得 k≥1． 程、不等式等相关问题，是函数构造中最重要的思 ②当 =一1时，左边 ：一1≤O=右边 )≤ 路． 培()恒成立； 侈01 设 函数f(PC)= +似 +b，g()= ③当_2≤_1 ≤鲁 ，由①知 e( +d)．设曲线Y= )和曲线Y=g()都过点 P(0，2)，且在点P处有相 同的切线Y=4x+2． h(pc)= 在[一2，一1)上单调递增，从而 1)求 口，b，C，d的值； 2)若 ≥一2时，f()≤ ()，求 k的取值范 2k-_h(x)i=h(一2)=2e， 围． 得 ≤e， (2013年全国新课标卷数学高考理科试题) 综上可知：1≤后≤e． 分析 第 1)小题略．第2)小题是函数中最常 解法2 作差法构造函数． 该 式在彤 式上 与 力 能公 式相 1以让 人 各 易联 想 到三 1 ymax ’ 角换元．令：tan，其中∈(0，詈)，则 通过以上解答和分析，我们发现：充分关注条 1 2tan 1一tan 件与结论的结构特征，展开类比联想，探索沟通条 y 5- ‘—1+ta—n2o~。—1+ta—n2o~