二阶及高阶微分方程的求解与应用.pdfVIP

一阶微分方程 二阶及高阶微分方程的 求解与应用 学 号 2012xxxxxxxx 姓 名 xxxxx 班 级 xxxxxxxxxxxx 学 院 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 1 一阶微分方程 摘要：本人认为第三章略微复杂，在课上时感觉自己听懂了，但是课后发现又 会出现好多问题。所以，本着为期末考试作准备，也是进一步巩固自己第三章的 内容的想法，我就把二阶及高阶微分方程的求解按照课本的顺序总结了一下，然 后又从实际问题出发，应用二阶及高阶微分方程来解决具体问题的一个典型例 题。 关键词：二阶及高阶微分方程 降阶 基本解组 Wronskian行列式 常系数 高阶微分方程的求解没有统一的方法，但通过课本的归纳总结还是可以找 到一些规律，下面就是我总结的一些主要解法。 一、解法 一、可降阶的高阶微分方程 一般的高阶微分方程没有普遍的解法，通常是通过变量代换把高阶方程的求 解问题转化为较低阶的方程来求解。这里总结三种可降阶的方程类型及求解方 法。 1、不显含未知数 的方程 x 不显含未知函数 及其直到 阶导数的方程， x k1(k1) 形如： (k) (k1) (n) F(t,x ,x ,,x )0 求解：令 (k) ，可化为关于  (nk) ， x y y的n-k阶方程F(t,y,y ,y )0 求得通解 ，即 (k) y (t,c,c ,c ) x (t,c,c ,c ) 1 2 nk 1 2 nk 再经 次积分，即可求得解 。k x 2、不显含自变量 的方程t 形如：  (n) F(x,x,,x )0 dx d x dy dydx dy2 求解:令yx，则 y,  2 y ， dt dt dt dx dt dx dy dy 3 d(y ) d(y ) 2 d x dx dx dx dy 2 2 d y 3   y( ) y 2 , 即运用数学归纳法，归纳得： dt dt dx dt dx dx 2 一阶微分方程 n1 dy d y F(x,y, ,, n1)0，依次降阶即可求得，一般应用于二阶微分方程的求解。 dx dx 3、全微分方程和积分因子 n n1 dx d x d dx d x 形如：F(t,x, ,, ) (t,x, ,,n