一阶微分方程的应用.pdfVIP

■墨 ÷王fZ一，l／1 一 阶 微 分 方 程 的 应 用 刘士琴 (衡水学 院 数学与计算机学院，河北 衡水 053000) 摘 要 ：本文讨论 了一阶常微分方程在几何 问题 ．以及 题有所帮助 ，以及对提高思维及处理问题的能力有所帮助． 增长和衰减 问题 、混合溶液 问题等方 面的应用 ．并指 出重要 的 1．几何 问题的应用 是建立数学模 型。以解决实际问题． 在几何上的应用主要利用 曲线y=y(x)的切线斜率y(x)， 关键词 ：一阶微分方程 通解 积分 因子 变量变换 法线斜率一 ，曲边梯形面积，：If(x)ldx，弧微分三角形dl=‘ 微分方程解决实际问题 ，一般说来 ，其步骤如下 ： Y x， 1．建立反映实 际问题 的数学模 型 ，也就是建立这个实 际 (dx)+(dy)等来叙述一些所求 曲线或图形的几何特征． 问题 的微分方程 (利用导数 的物理意义，瞬时变化率或几何切 例l：求抛物线族v=cx的‘正交轨线族． 线斜率)． 分析 ：对y=cx2两边关于x求导得 ：ay：2cx 2．求解这个微分方程． ． dx 3研 究解 的性质并用所得的数学结果解释实际问题． 本文针对几个典型 问题进行 了讨论 ．希望对解决实际 问 由于y=cx，解出c代人上式得 ： 的奇点个数较少 ，则根据f(z)在扩充复平面上的所有奇点 (包 将f(z)展开成洛朗级数，f(z)=∑Ca(Z--Z0)”，则 括 )的留数 的总和必为零这一结论可得 ： }Jcf(z)dz=一2rri1Res[f(z)，](曲线外只有奇点 )或 ff(z)dz一 }rcf(z)dz=-2cri{Res[f(z)，∞]+、Res[f(z)，z]}(z1，z2，…， 例7．计算积分f竿dz z，。。为曲线外 的奇点)． l z 例9计．算积分f：z÷dz 解 ：f(z)：竺一在1lzl+。。内解析 ，Izl：2在此 区域 内，则按 j—Z 洛朗级数展开有 ： 解 ： 的奇点±1、±i在 圆周lz1=21~，圆周外 的奇 点只有 z一1 __(- 川 1 1 o。，则 ： 川 Z — z 21z‘ z