MATLAB在解析几何中的应用研究 .docVIP

MATLAB在解析几何中的应用研究 引言 数学是研究空间形式和数量关系的科学，解析几何是数学专业的一门专业基础课程,它的基本思想是用代数的方法描绘几何图形，认识图形的性质，分析图形间的相互关系，解析几何不仅为代数学提供了几何模型,而且也为研究物理学、工程技术领域的相关问题提供了必要的数学工具【1-2】．它的主要研究内容有向量代数、空间坐标系、平面与直线、常见的曲面与曲线等，由于几何问题广泛存在于科学技术的各个领域，因此解析几何方法已经成为从事自然科学研究必不可少的工具． 然而，目前解析几何的教学在教学方法和教学手段方面还比较落后，很多曲线和曲面的形成与变换过程还是通过传统的教师讲解、手工绘制的方法展示，很难将曲线及曲面形象、准确地展示出来，学生很难理解和掌握．在教学与研究中,假如可以形象、生动、直观的给出空间图形或者轨迹的形成过程，不仅使教学变得简单，而且有助于提高学生的学习兴趣．MATLAB软件是集数值计算、符号计算和图形可视化三大基本功能于一体的大型科学计算软件，广泛应用于科学研究、工程计算、动态仿真等领域，该软件的一个重要特色是强大的图形处理功能．下文主要讨论MATLAB软件在解析几何的向量计算，平面、空间曲线和曲面图形的描绘，空间图形的位置关系的判定等多方面的应用研究． 1 MATLAB软件在向量运算中的应用 1.1 用MATLAB软件生成向量 (1) 直接输入a=[1 5 6 8 9]，返回 a=1 5 6 8 9 (2) 冒号生成法基本为：向量＝初值步长终值a=1:2:12，回车运行，返回a= 1 3 5 7 9 11 b=1:5返回 b= 1 2 3 4 5 1.2 向量的运算 MATLAB软件中，对向量的不同运算，有如下函数，表1 向量运命令 A+B 向量A,B的和 cross(A,B) 向量A,B的矢量积 dot(A,B) 向量A,B的点积 norm(A) 向量A的模长 1.3 应用实例例1 用MATLAB软件完成下面任务 （1）用元素输入法创建向量=(4,2,3,1,-2,-1,5,10)；（2）用冒号生成法创建向量=(1,3,5,7,9,11,13,15)； （3）用等分取值法创建向量，其初值为1，终值为100，共8个元素； （4）作向量与得数量积、向量积； 作向量、的混合积．解：（1）x1=[4 2 3 1 -2 -1 5 10]（2）x2=1:2:15 （3）x3=linspace(1,100,8) （4）dot(x1,x2),cross(x1,x2)（5）dot(cross(x1,x2),x3) 例2 求点到直线的距离. 解：点到直线的距离公式为 其中，为直线的方向向量，为直线上异于的任意一点用MATLAB求解上述问题，代码如下： M0=[1 -1 0]; M1=[2 1 2];V=[1 -1 -2]; d=norm(cross(M1-M0,V))/norm(V)，返回结果 d= 2.1985 例3 证明Lagrange恒等式其中为几何空间中的三向量． 证明：在MATLAB命令窗口中输入 syms a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a41 a42 a43 real a1=[a11,a12 a13];a2=[a21,a22 a23];a3=[a31,a32 a33];a4=[a41,a42 a43]; left=dot(cross(a1,a2),cross(a3,a4)) right=dot(dot(a1,a3),dot(a2,a4))-dot(dot(a1,a4),dot(a2,a3)) answer=left-right;simple(answer),运行结果为 ans =0 即等式左右两边相减差为0，因此定理得证． 2 MATLAB软件在解析几何的图形绘制中的应用 解析几何学研究的一个重要课题是根据给定的方程如何获得它所表示的图形的各种几何性质以及描绘这个图形．对于复杂的几何图形的作图，手工作图主要采用平面截线法，可以大致了解曲面的形状．MATLAB提供了许多绘图函数，利用这些函数可以绘制出所需的图形；MATLAB还提供了丰富的修饰法，可以使图形更加美观和形象． 在MATLAB中，编写绘制二维和三维的图形的程序；运行这些程序时，在图形窗口中就可以得到想要的复杂图形． 2.1 二维图形的绘制 MATLAB提供了丰富的绘图函数，plot是最基本的二维绘图函数，其调用格式plot(X,Y)：若X、Y 为长度相等的向量，则绘制以X和Y为横、纵坐标的二维曲线． X=-5:0.05:5;Y=sin(X).*