广义商高数的纯指数Diophantine方程ax+by=cz的解.pdfVIP

Sciences 广西科学Guangxi 2013，20(1)：31～34 SolutionofPure ax ExponentialDiophantineEquations —一byCzforGeneralized PythagoreanTriplets 陈进平 CHEN Jin—ping (西华师范大学数学与信息学院，四川南充637002) ofMathematicsandInformation，ChinaWestNormal (College 637002，China) 摘要：运用Gel’fond—Baker方法证明，在优≥105r3时，丢番图方程a。+∥=c2仅有正整数解(z，y，z)一(2，2， r)．其中r和m为正偶数，(口，6，c)一(IV(m，r)I，l 仃)‘． 关键词：丢番图方程Terai猜想正整数解 Gel’fond—Baker方法 中图法分类：0156．7文献标识码：A 文章编号：1005-9164(2013)01—0031—04 theGel’fond—Baker that the e— Abstract：Using method，weprove ifm≥105r3，thenDiophantine n。+b’=C2has one 7-andmbea quation only positiveintegersolution(z，Y，z)=(2，2，厂)。Let even V(m，r)l，I positiveinteger，(n，6，c)=(1 (m+厅)r． solution，Gel’fond—Baker Keywords：Diophantineequation，Teraiconjecture，positiveinterger method 若口，b，C是两两互素的正整数，N是自然数集 猜想1 当a，b，C取商高数时，即当口，b，C满足 合，那么方程 a。+b’=c。，z，Y，z∈N (1) 2，2)． 表示一类基本而又重要的指数丢番图方程． 设r是大于1的正整数，7n为偶数，且 当(n，b，f)是广义商高数时，有以下猜想： V(m，，．)+U(优，，|)~／一1一(m+~／一1)7．(2) 那么U(研，，．)和V(m，，．)是满足 猜想2当a，b，c满足(4)式时，方程(1)仅有解 V2(优，r)+U2(m，r)=C7，gcd(U(m，r)，V(m， r))=1 (3) 目前有关猜想2的研究结果主要有4种情况： 的非零整数．因此，由(3)式可知：如果a，b，C满足 (i)，．是很小的给定值．文献[4～6]证明：当r∈ {3，4，5)时，猜想2成立． a=lV(m，r)I，b=IU(m，，-)j，f—m2+1，(4) 则必有 盘2+62一fr，gcd(a，6)一1， (5) 数，r为奇数时，如果m41r“2，则猜想2成立． (iii)b是满足b兰3(rood 所以满足(4)式的数组(a，b，c)被称为一类广义商 4)的正奇数．文献 高数． [10]证明：当，．兰1(rood2)，b三3(rood4)时，如果