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高二数学 上学期曲线和方程求解轨迹方程常用方法在一道解几题中的体现
求解轨迹方程常用方法在一道解几题中的体现
题目 设圆C：（x－1）2+y2=1,过原点O作圆的任意弦OQ，求所对弦的中点P的轨迹方程.
解法一（直译法）设P（x,y），OQ是圆C的一条弦，P是OQ的中点，
则CP⊥OQ，x≠0,设OC中点为M（），则|MP|=|OC|=，
得（x－）2+y2=(x≠0),即点P的轨迹方程是（x－）2+y2=(0＜x≤1)
解法二（定义法）∵∠OPC=90°，∴动点P在以M（）为圆心，OC为直径的圆（除去原点O）上，|OC|=1，故P点的轨迹方程为（x－）2+y2=(0＜x≤1)
解法三（相关点法）设P（x,y）,Q(x1,y1)，其中x1≠0,
∴x1=2x,y1=2y,而（x1－1）2+y2=1
∴(2x－1)2+2y2=1,又x1≠0,
∴x≠0,即（x－）2+y2=(0＜x≤1）
解法四（参数法）设动弦PQ的方程为y=kx,代入圆的方程（x－1）2+kx2=1，
即（1+k2）x2－2x=0,∴
设点P（x,y），则
消去k得（x－）2+y2=(0＜x≤1）
另解 设Q点（1+cosθ,sinθ），其中cosθ≠－1,P(x,y)，
则消去θ得（x－）2+y2=(0＜x≤1）
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