38赏析“数”的特色+感受“形”的魅力-2014年高考全国课标Ⅰ理科第11题的多解探究.pdfVIP

·38· 中学数学研究 2015第1期 赏析“数的特色 感受“形的魅力 一2014年高考全国课标I理科第11题的多解探究 王 江苏省苏州市田家炳实验高级中学 (215006)耀 1 问题再现 一1，因此口≠一2，从而只能选B． (2014年高考全国课标I卷，理科第11题、文 科第12题)已知函数八戈)=oz3—3x2+l，若八戈) 存在唯一的零点‰，且‰o，则。的取值范围为 ( )． A．(2，+∞) 曰．(一∞，一2) 图l 图2 图3 C．(1，+∞) D．(一∞，一1) 评注：在高中三年的数学学习中，对于求参数取 2 解法探究 值范围的问题，许多人习惯用分离参数这个方法去 解法1：函数八菇)的导函数厂(戈)=3口戈2—6戈= 思考，那么对于这道高考题，能否应用分离参数的方 3茗(o戈一2)；若口=o时√弋戈)=一3石2+l在R上有 法顺利求解呢? 。) 两个零点，与题意矛盾，故n≠0；若o0时，当戈 解法3：由题意可知八戈) ，’ 1 =n戈3—3戈2+1=0只有唯一 ＼＼ 0或戈兰时，(石)0；当0戈三时／(z) 一 U Ⅱ 正根，那么分离参数后有口=：‘ ：2 ( 2 4 X o；又八0)=1，那么函数由以戈)在区间(一∞，0)上 、、＼，。 为增函数可知，函数八石)必有一个零点戈。0，矛 塾三}，即可知函数y：口与 ，’ 盾；若o0时，当石0或菇三时／(戈)0；当 图4 “ yy：塾≥}有且仅有一个交2—丁硐且仪伺一个父 ，’ 点，且交点的横坐标大于0．下只要研究函数g(石) 三戈0时／(戈)O；要使函数八戈)存在唯一的 U ，’ =掣的图像： 由其导函数 g’(戈)= 零点戈oo，则必有厶小(菇)o，即八÷)o，代入 解得o一2，故选B． 二三掣可知：当一1戈o或o石1时， 戈 评注：解法1从严谨的数学推导出发，为研究函 g’(z)0；当石一1或戈1时，g7(戈)O；得至0 数的大致图像提供了充分的理论支撑．然而，作为选 图像如图4所示．因此，由题意可知口g(一1)= 择题，试题以三次函数的零点问题为命题背景，熟悉 一2． 三次函数图像的学生可能直接从图像出发．事实上， 评注：解法3中将参数。与变量菇完全分离开， 可利用解高次方程时经常用到的“序轴标根法”来 从而转化为去研究新函数的图像与动态水平线的位 综合考虑图像大致形状与零点问题，具体解析过程