第5章 信号和系统的频域表示法(TY).pdfVIP

第5 章 信号和系统的频域表示法 5.1 引 言 ■ 信号与系统的“变换域概念和方法”的重要性 通过第2、3 、4 章的介绍和讲述，已获得称为“时域方法”的 一套有关信号与系统的概念、理论和方法，利用它们已经可以： ● 表示、运算和分析信号，并认识信号的许多特性； ● 进行系统分析和求解，特别是LTI 系统和用线性常系数微 分方程或差分方程表示的实际因果系统，并分析和认识系 统的不少功能和特性； ● 了解和掌握了一些系统综合(实现)与信号处理的方法，等。 但它们并不完整，并有相当局限和不足。因为，这些概念、 理论和方法，及由此产生的对信号和系统特性的认识，都只基于 信号和系统的原本形态(时域描述) 得到的。后面各章的讲述将会 看到，“变换域方法”弥补了时域方法的局限和不足，两者各有所 长、互为补充，形成完整的信号与系统概念、理论和方法。 5.1 引 言(续) 人们在科学研究和认识世界的长河中领悟到，仅从事物的原 本形态或面貌看问题都有其局限性，难以了解和认识隐藏在其内 部的许多特性，通常的办法是从事物的另一种形态或面貌来看问 题，所谓“变换”，就是将事物原本形态或面貌变换成它的另一种 形态或面貌， 变换的作用或目的——是把隐藏在事物原本形态或面貌中的 某些特性凸现出来，同时也会使得原本明显的特性反而被隐藏。 这种从事物不同面貌来研究问题的思想和方法，不仅可以深入和 丰富对事物的认识，还能获得或开发有效解决问题的不同方法。 科学问题中的“变换”一般都是数学变换。就信号而言，目前 已有众多函数变换方法，例如：傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z 变换、正弦和余弦变换、沃尔什-哈达曼变换、K-L变换、 和小波变换等，它们在信号分析和处理中有其不同的应用。 但是，同时能适用于系统分析，并成为信号与系统理论和方法中 最基本、应用最广泛的变换，仍然只有如下两类变换： 5.1 引 言(续) ● 傅里叶变换，包括连续傅里叶变换(CFT)、离散时间傅里 叶变换(DTFT)和离散傅里叶变换(DFT); ● 拉普拉斯变换(连续时间)和Z 变换(离散时间)，其中又有 双边及单边拉普拉斯变换和双边及单边Z 变换。 通过这些变换，把信号和系统的时域表示变换成它们的变换 域表示，以及由此获得和开发的有关信号与系统的概念、理论和 方法统称为信号与系统的“变换域方法”。其中，基于各种傅里叶 变换的有关概念、理论和方法称为“频域方法”或“傅里叶方法”， 而以拉普拉斯变换和Z 变换为基础的有关概念、理论和方法，则 称为“复频域方法”。 ■ “变换域方法”的发展历史 这两类变换域方法经历了不同的发展过程。 傅里叶方法可追溯到18世纪中叶欧拉、伯努利和拉格朗日等 数学家利用三角级数对一些数学物理问题的研究，但这些大数学 家先后怀疑和抛弃了这些探索。直到半个世纪后，法国数学家傅 5.1 引 言(续) 里叶的研究工作，他提出并断言：任何周期函数都可以用成谐波 关系的正弦级数来表示，还把它推广到非周期函数，发表了后来 以他名字命名的级数和变换的论文，奠定了傅里叶方法的基础。 此后的一百多年中，连续傅里叶级数和傅里叶积分在众多科 学和工程领域获得广泛应用。特别在19世纪末、20世纪初，电子 和通信技术的兴起，给傅里叶方法提供了大显身手的舞台，目前 这些领域中许多重要概念和技术都得益于傅里叶方法，例如： 正弦电路的相量分析法、谐波失真、滤波和滤波器、调制和解调、抽样 和抽样数据系统、变频和混频、多路复用、载波电话系统、均衡、谱分析， 以及及各种频谱有效利用技术，等等， 无一不是傅里叶方法结出的果实。 拉普拉斯变换起源于19世纪末，英国工程师亥维赛用代数的 算子方法成功求解微分方程的研究，由于缺乏严密的数学论证， 未获广泛承认。后来在法国数学家拉普拉斯先前的著作中找到可 靠的数学依据，重新给予严密的数学定义，并取名为拉普拉斯变 5.1 引 言(续) 换，即目前的所谓“单边拉普拉斯变换”，并在连续时间系统分析 中逐渐取代了经典的微分方程解法所占据的统治地位。 离散时间信号与系统分析方法却有自己不同的渊源： ▲ 17 世纪开始有关内插、微分和积分等近似计算的数值分析方法研究； ▲ 18 世纪开始利用一串观测值预测未来变化的时间序列分析方法研究