试析欧拉公式在高等数学中的作用.pdf

试析欧拉 中韵作用 ■ 祁召华 巴国旗 何东中 摘要：在复数域上给出欧拉公式e ：c0 +isinx的几种证 二、欧拉公式在高等数学的应用举例 明：举例说明欧拉公式在高等数学中的几类应用． 欧拉公式除了在初等数学 中诸如证明一些三角恒等式有 关键词：欧拉公式；极限法；指数函数积分法；复数幂级数 十分重要的应用外，在高等数学中也有极为广泛的应用 ，分以下 一 、 欧拉公式的证明 几个方面各举一个例子来说明． 欧拉公式 e =COSX+isinx有广泛而重要的应用，关于该公 1．求高阶导数 式的证明方法 目前有如下六种：首先，欧拉本人是从数学 中两 设f()：e cos4x，求， ’()． 个重要极限出发，采用初等方法 “推导”出这个公式的；其次是 解：设g()=e sin4x，=一arctanqq-，并记F()=，() 复指数函数定义法…；另外从对数函数特征性质警=1~d吡e* +ig(x)， =e 出发 ，利用微分方程分离变量积分法；再者采用复数幂 根据欧拉公式，有 级数展开式法来验证 ；再其次采用变上限积分法验证；最后 F()=e-3xcos4x+isin4x)=e‘“ 利用 Lagrange中值定理的推论来证明 ． F()：(一3+4i)e( =(一5e扣)e小‘ = 1．极 限法 (一5)e— 婶‘ ’‘=(一5)e—h[cos(rup+4x)+／sin(几 + 当 =0时，欧拉公式显然成立； 4)]， 分离其实部和虚部，即可得所求之结果 当 ≠O时，考虑极限lim(1+旦 )“，(∈R，∈N)， m叶∞ n ／n)=(一5)ecos(4x—narctan÷)． 一 方面，令t=导则有 2．积分计算 lim(1+旦)=lim[(1+÷)]“=e； (1) 求不定积分 ：』e sinx3dx和f ecos3xdx． ，H ∞ n ∞ 解 ：记-厂()=』e缸cos3xdx，g()=』xesin3xdx则 另一方面 ，将 1+旦化为三角式，得 f()+g／(x) = f e。cos3xdx+if esin3xdx， 1+詈=√1+(音)c【。s(arctan(音))+is(arctan = fe知 cos3 in3) =