自主招生考查的空间想象能力.pdfVIP

20l4年9月下旬(高中)…………………自主招生考试研究…………………l中小学数学嚯■ 黪…一一 丫一 考查的空间想象能力 招 北京市第八中学(100032) 陈孟伟 空间想象能力是非常重要的数学能力，且以立体 是 “这个平面的垂线与这条直线成角(90一 )”．所 几何为主要载体．新课程标准强调 “采用直观感知、操 以，我们只要过点 找与n，b成角均为35。的直线即 作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何 可．此为第二次转化，到此我们基本解决了此问题．我 图形及其性质”．“直观感知、操作确认”是直观的，是 们找到了两条直线AB，AC与口，b均成35。角，于是过 形象的；“思辨论证 、度量计算”是严谨 的，精确的．前 点A的垂面就是所求． 者为后者提供了基础，后者是在前者的基础之上更深 例2 如 图2，正方 入的研究．因此，“直观感知、操作确认”是学习立体 体ABCD—A1BlC1D1中， 几何最重要的基础，同时也是学习立体几何最基本的 尸为底 面ABCD上 的动 要求． 点 ，PE上AlC于E，且 但是，由于各种因素导致，“直观感知、操作确认” = PE，则点P的轨迹是 被极大地忽视了，学生的这方面的能力没有得到应有 ( )． 的培养，仅是十分重视 “度量计算”，学生能够熟练地 (A)线段 对简单、熟悉的几何体进行推理论证、建系计算．但学 (B)圆弧 生一旦遇到不熟悉的几何体，其推理与计算就会迷失 (C)椭圆的一部分 方向，或十分繁琐． (D)抛物线的一部分 自主招生的使命决定了它是对拔尖人才的挑选， 分析 ：此题极易陷入复杂的计算中，“小题大作”． 决定了对空间想象能力的考查不仅仅是想 ，而是要会 其实，仔细分析已知条件易知 上A 。，于是点P到 想，会用更好的方法去想． AAC的两边距离相等．联想到平面几何的定理，类 一 、转化与化归 比推理出点P应在 ／-从 ．C的“角平分面”上．加之点 例 1 (2011华约，有改动)两条异面直线互成 P在底面ABCD上，所以由两平面的交线为直线，得出 6O。，过空间中任一点A可以作出与这两条异面直线都 点P的轨迹应为一条线段． 成55。角的平面 ( )． 以上两题的合理转化 ，使得我们想得更清楚、摆 (A)一个 (B)两个 脱了繁杂的运算． (C)三个 (D)四个 二、整体与对称 分 析：首 先 例3 如图3，直三棱柱ABC—A。BlCI的底面为 “固定”两条异面 等腰直角三角形 ，_／ABC=90。，且BC=B1C，0为AC 直线n，b与点A的 中点，求二面角0一CB—C的大小． 相对位置，我们过 点A分 别作直线 n，b的平行线 口， b b．如图1，由于平 行 移动不影响成 角大小，故我们只要过点A寻找平面与直线o，b成角 均为55。即可．此为第一次转化，此时对于是否存在这 样的平面，我们还是想不清楚．