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* * * Copyright by Li Xinliang Copyright by Li Xinliang Copyright by Li Xinliang Copyright by Li Xinliang 计算流体力学讲义 第二讲 双曲型方程组及间断解 李新亮 lixl@ ；力学所主楼219； 知识点： 双曲型方程组边界条件提法 双曲型方程的特征方程 双曲型方程的间断解及熵条件 Riemann间断解 * 讲义、课件上传至 (流体中文网） - “流体论坛” -“ CFD基础理论 ” 第2 讲 双曲型方程组及其间断解 §2.4 双曲型方程及其数学性质 考虑方程组： 令： 1. 双曲方程边界条件的提法 如果矩阵A 能通过相似变换对角化 双曲型 Copyright by Li Xinliang * 1) 一阶常系数偏微方程组 如果矩阵A 可以被对角化： 令： 有 即： m个方程完全解耦， 可独立求解 有m 条特征线： m个特征相容关系式： 如果矩阵A能够（相似变换）对角化，则原方程是双曲型的 Copyright by Li Xinliang * 双曲方程边界条件提法 变换成为了彼此独立的n个单波方程 方法： 独立给定j个方程的边界条件 如果 lj0, 则在左端给定vj的边界条件 如果 lj0, 则在右端给定vj的边界条件 特点： 左、右边界总共给定n个边界条件，各自的个数视特征值的符号确定 A B j=1 j=2 可推广到一般的双曲型方程组 Copyright by Li Xinliang * 条件 描述 边界条件设定 超音速入口 给定3个边界条件 亚音速入口 给定2个边界条件 超音速出口 无需给定边界条件 亚音速出口 给定1个边界条件 2） 一维Euler方程 对于左边界： Copyright by Li Xinliang * 知识点 变系数方程组的情况 令： 令 （行向量） 在x-t空间引入曲线： 满足： 2. 双曲型方程组的特征方程 Copyright by Li Xinliang * （变系数情况）虽然不能解耦，但还能转换成常微方程 对于两自变量情况,可化为： 如果存在积分因子，使得 则有： Riemann不变量 Copyright by Li Xinliang * 沿特征线： Riemann不变量保持不变 2个常微方程 常见情况讨论: 一维等（均）熵运动 例如，膨胀波 矩阵B的特征值 沿特征线1： 有： 令： 则有 沿特征线1： R不变 同理，沿特征线2： 保持不变 对于等熵完全气体 Riemann 不变量 Copyright by Li Xinliang * 知识点，牢记！ 第1个方程转化为 寻找积分因子： 一维均熵流动沿特征线Riemann不变量保持不变 例2.1： 有限振幅波的传播问题 考虑一维无粘流动（Euler方程），初始时刻（t=0）流动状态如下： 试分析t=t0时刻的流动状态 （假设流场不出现间断） 不同时刻的速度分布（A=1） 不同时刻的速度分布（A=0.01） 思考题： 小扰动的传播情况？ 数值解 x t （1） （2） （3） （4） 利用特征线，分析不同区域的差异 等（均）熵情况下，同族特征线不会相交 Copyright by Li Xinliang * 目的： 学会如何运用Riemann不变量解题 Copyright by Li Xinliang * 一维扰动波的传播 （上： A=1; 下： A=0.01） 基本解题思路： 利用特征关系 1 2 3 x t 解出 x1, x2 利用Riemann不变量得： 解出 x t （1） （2） （3） （4） 区域（2），（4） 未扰动 区域（1）内的流动使用基本方法计算 区域（3）内的计算可简化 A B D C E F G (3) 区内的波传播速度为常数，且在传播过程中物理量保持不变—— 简单波 ? 特征线为直线 注意： 因而方程是非线性的 给定x3,t3 利用 Copyright by Li Xinliang * （假设t3充分小） 解出t3时刻的流场，继续推进下个时刻 概念： 简单波 区域 （3） 内扰动波的传播特点 x t （1） （2） （3） （4） 考虑 （3）区内的, 同属一条特征线M 上的任意两个点4 和5： 1 2 3 4 5 由于点1 和点3 均在未扰动区： M 在（3）区内， 所有物理量（u,c）沿特征线M不变 特征保持直线，特征波传播速度不变 简单波 C