第四-五节区间估计.pptVIP

* 概率统计 具体: 若估计参数为 ，要考虑估计量 落在 的可能性有多大。 即求 ，若给定了可能的 值，则就可以求出它的可能范围。 在估计湖中鱼数的问题中，若已知得到鱼数 N 的极大似然估计为1000条。而实际上N 的 真值可能大于1000条，也可能小于1000条。 则在区间估计中就可以给出一个区间，在此 区间内合理地相信 N 的真值位于其中。这样 对鱼数的估计就有把握多了. 例如： 也就是说，所讨论的问题是希望确定一个区间，使得在该区间内能以比较高的可靠程度相信它 包含未知参数的真值。 [ ] 而这“可靠程度”是用概率来度量的，称为 置信概率、置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 ，这里 是一个 很小的正数。称该区间为置信区间。 湖中鱼数的真值 一. 置信区间 定义: 设总体 X 的分布函数 含有一个未知参数 , 和 满足: ， 对于给定的值 ，若由样本 确定的两个统计量： 是 的置信度为 的置信区间， 和 为置信度为 的双侧置信区间的 置信下限和置信上限. 称为置信度或 置 信概率。 则称随机区间 注: 定义的含义是指:在反复抽样多次(各种得到的样 本容量相等，均为 n )，每个样本值确定一个区间 ，每个这样的区间要么包含 的真值， 要么不包含 的真值，按贝努力大数定理可知 在这么多的区间中包含 真值的约占 不包含 真值的仅占 ▲ ▲ 对置信区间 有两个要求： 大的可能被包含在该区间内，即要求： 一是要求 以很 尽可能大. 二是要求估计的精度要 尽可能的高，即要求区间 尽可能短。 可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度. 正态随机变量情形的区间估计. 给定置信度 ，求置信区间. 讨论的问题： 讨论的对象： 二. 正态总体均值的区间估计 1. 单各正态总体 情形 问题: 设 X1,… Xn 是取自 的样本， 已知 求：参数 的置信度为 的置信区间. 解: (1). 当方差 已知的情形 选 的点估计(无偏估计)为 寻找未知参 数的一个良 好估计 ~ N ( 0, 1 )， 且统计量 而且 U 不依赖于任何未知参数。 现对于给定的置信水平 (大概率)， 根据 U 的分布，确定一个区间，使得U 取值于该区间的概率为 故对于给定的置信水平， 按照标准正态分布的 分位点的定义有： 从中解得： 于是所求 的置信度为 置信区间为 ： 也可简记为： 例1. 某实验室测量铝的比重 16 次，得平均值 ，设总体 （高斯已证明测量误差是服从正态分布） 求: 的 95% 的置信区间. 解: 由已知： 查正态分布表得： 得： 即用 来估计 值的可靠程度达到 95% 的区间范围是 (2.691, 2.719) (2). 方差 未知的情形 用 去代替 得统计量： 它是不依赖于任何 未知参数的. 从而 的 的置信区间为： 未知，但考虑到样本方差是 的无偏估计， 即： 从中解得： 于是所求 的置信度为 置信区间为 ： 例2. 求: 的置信度为 95% 的置信区间 解: 由已知： 查 t 分布表得： 得： 从而 的 的置信区间为： 确定某种溶液的化学浓度，现任取4个样品，测得样本均值为 现溶液的化学浓度近似服从正态分布. 2. 两个正态总体 的情形 问题: 是来自第一个总体 的样本, 是来自第二个总体 的样本, 它们相互独立，又设 分别是两个总体的样本均值； 求：两个总体均值差 的置信区间. 分别是两个总体的样本方差。给定置信度为 解: 均为已知时 又由 的独立性 以及已知： 故有： 所以得统计量: 分别